В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1 , причём BB_1 — образующая цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол ABC_1 прямой. б) Найдите угол между прямыми BB_1 и AC_1 , если AB = 6 , BB_1 = 15 , B_1C_1 = 8 .

Пусть O и O_1 — центры оснований цилиндра, OO_1 — его ось. а) Рассмотрим плоскость pi, проходящую через прямую AC_1 и ось OO_1. Тогда O, A, значит, прямая pin (нижнее основание) проходит через O и A, то есть пересекает окружность основания в точках A и C, причём AC — диаметр. Плоскость pi пересекает окружность верхнего основания в концах диаметра, лежащего на прямой pin (верхнее основание). Один из концов этого диаметра — точка A_1, лежащая над A (на образующей через A), второй — точка C_1', лежащая над C (на образующей через C). Так как C_1, то C_1 совпадает с одной из точек A_1 или C_1'. Если бы C_1=A_1, то AC_1 была бы образующей цилиндра, параллельной оси, и не пересекала бы ось цилиндра. Это противоречит условию. Значит, C_1=C_1', то есть CC_1 — образующая цилиндра. В основании AC — диаметр, поэтому вписанный угол ABC прямой, то есть AB BC. Рассмотрим плоскость , проходящую через прямые BC и CC_1; в этой плоскости лежит прямая BC_1. Ортогональная проекция прямой BC_1 на плоскость основания — это прямая BC (так как B проектируется в B, а C_1 — в C). Поскольку AB лежит в плоскости основания и AB BC, по теореме о трёх перпендикулярах получаем AB BC_1. Следовательно, ABC_1=90^. б) Так как BB_1 CC_1, угол между прямыми BB_1 и AC_1 равен углу между CC_1 и AC_1, то есть углу AC_1C в треугольнике ACC_1. Из пункта (а) ABC=90^. Кроме того, BC=B_1C_1, так как верхнее основание получается из нижнего параллельным переносом вдоль образующих. Значит, BC=8, AB=6, поэтому AC=sqrt(AB^2+BC^2)=sqrt(6^2+8^2)=10. В треугольнике ACC_1 угол при C прямой, так как CC_1 плоскости основания и AC лежит в основании. Тогда tan AC_1C=(AC)/(CC_1)=(10)/(15)=(2)/(3), откуда искомый угол равен arctan(2)/(3). Ответ: arctan(2)/(3).

а) \(90^\circ\) б) \(\arctan\dfrac{2}{3}\)