Задача №15170

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B\text{,}$ а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1\text{,}$ причём $B{B}_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $A{C}_1$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол $AB{C}_1$ прямой.

б) Найдите угол между прямыми $B{B}_1$ и $A{C}_1\text{,}$ если $AB=6\text{,}$ $B{B}_1=15\text{,}$ $B_1{C}_1=8\text{.}$

Пусть $O$ и $O_1$ — центры оснований цилиндра, $O{O}_1$ — его ось.

а) Рассмотрим плоскость $\pi \text{,}$ проходящую через прямую $A{C}_1$ и ось $O{O}_1\text{.}$ Тогда $O\in \pi \text{,}$ $A\in \pi \text{,}$ значит, прямая $\pi \cap (\text{нижнее основание})$ проходит через $O$ и $A\text{,}$ то есть пересекает окружность основания в точках $A$ и $C\text{,}$ причём $AC$ — диаметр.

Плоскость $\pi$ пересекает окружность верхнего основания в концах диаметра, лежащего на прямой $\pi \cap (\text{верхнее основание})\text{.}$ Один из концов этого диаметра — точка $A_1\text{,}$ лежащая над $A$ (на образующей через $A$), второй — точка $C_1^{\prime }\text{,}$ лежащая над $C$ (на образующей через $C$). Так как $C_1\in \pi \text{,}$ то $C_1$ совпадает с одной из точек $A_1$ или $C_1^{\prime }\text{.}$

Если бы $C_1=A_1\text{,}$ то $A{C}_1$ была бы образующей цилиндра, параллельной оси, и не пересекала бы ось цилиндра. Это противоречит условию. Значит, $C_1=C_1^{\prime }\text{,}$ то есть $C{C}_1$ — образующая цилиндра.

В основании $AC$ — диаметр, поэтому вписанный угол $\angle ABC$ прямой, то есть $AB\perp BC\text{.}$

Рассмотрим плоскость $\sigma \text{,}$ проходящую через прямые $BC$ и $C{C}_1\text{;}$ в этой плоскости лежит прямая $B{C}_1\text{.}$ Ортогональная проекция прямой $B{C}_1$ на плоскость основания — это прямая $BC$ (так как $B$ проектируется в $B\text{,}$ а $C_1$ — в $C$). Поскольку $AB$ лежит в плоскости основания и $AB\perp BC\text{,}$ по теореме о трёх перпендикулярах получаем $AB\perp B{C}_1\text{.}$ Следовательно, $\angle AB{C}_1=90^{\circ }\text{.}$

б) Так как $B{B}_1\parallel C{C}_1\text{,}$ угол между прямыми $B{B}_1$ и $A{C}_1$ равен углу между $C{C}_1$ и $A{C}_1\text{,}$ то есть углу $\angle A{C}_{1}C$ в треугольнике $AC{C}_1\text{.}$

Из пункта (а) $\angle ABC=90^{\circ }\text{.}$ Кроме того, $BC=B_1{C}_1\text{,}$ так как верхнее основание получается из нижнего параллельным переносом вдоль образующих. Значит, $BC=8\text{,}$ $AB=6\text{,}$ поэтому

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$

В треугольнике $AC{C}_1$ угол при $C$ прямой, так как $C{C}_1\perp$ плоскости основания и $AC$ лежит в основании. Тогда

$$\tan \angle A{C}_{1}C=\frac{AC}{C{C}_1}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3},$$

откуда искомый угол равен $\arctan \frac{2}{3}\text{.}$

Ответ: $\arctan \frac{2}{3}\text{.}$