В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD известно, что AB = 1. Через точку O пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру SC провели плоскость alpha. а) Докажите, что плоскость alpha проходит через вершины B и D. б) В каком отношении плоскость alpha делит ребро SC, считая от вершины S, если площадь сечения равна (sqrt(2))/(3)?

а) Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду SABCD с квадратом ABCD со стороной AB=1. Боковые грани SBC и SDC — равные равнобедренные треугольники (по трём сторонам). Проведём в треугольнике SBC высоту BK к стороне SC (Kin SC). Из равенства треугольников SBC и SDC следует, что длина высоты из D к SC равна BK, а в силу симметрии пирамиды относительно плоскости SAC основание этой высоты совпадает с K. Значит, DK SC. Таким образом, BK SC и DK SC, следовательно, прямая SC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BDK. Поэтому SC пл. BDK. Точка O — пересечение диагоналей квадрата — лежит на BD, значит, принадлежит плоскости BDK. Плоскость alpha по условию проходит через O и перпендикулярна SC. Но через точку O перпендикулярно прямой SC можно провести только одну плоскость. Следовательно, alpha совпадает с плоскостью BDK, а потому содержит вершины B и D. б) Сечение пирамиды плоскостью alpha — треугольник BDK (он пересекает основание по BD, а грани SBC и SDC по отрезкам BK и DK). Треугольник BDK равнобедренный (BK = DK). Его площадь можно вычислить как S_(BDK) = (1)/(2)* BD* OK, где OK — высота, опущенная из O на сторону BD (так как O — середина BD, то OK — медиана и высота). По условию S_(BDK) = (sqrt(2))/(3). Диагональ квадрата BD = sqrt(2). Подставляем: (1)/(2)*sqrt(2)* OK = (sqrt(2))/(3) => OK = (2)/(3). Плоскость alpha перпендикулярна SC, поэтому прямая OK, лежащая в alpha, также перпендикулярна SC. Следовательно, OK SC, и точка K — основание перпендикуляра из O на SC. Рассмотрим прямоугольный треугольник OKC ( OKC = 90^). В нём OC = (AC)/(2) = (sqrt(2))/(2) (половина диагонали квадрата). По теореме Пифагора: KC^2 = OC^2 - OK^2 = ((sqrt(2))/(2))^2 - ((2)/(3))^2 = (1)/(2) - (4)/(9) = (1)/(18), откуда KC = (sqrt(2))/(6). Прямая SO — высота пирамиды, поэтому SO пл. ABCD и SO OC. Значит, треугольник SOC прямоугольный с прямым углом O. В нём OK — высота, опущенная на гипотенузу SC. Из свойства прямоугольного треугольника: OC^2 = SC* KC. Подставляем: (1)/(2) = SC*(sqrt(2))/(6) => SC = (1)/(2)*(6)/(sqrt(2)) = (3sqrt(2))/(2). Теперь находим SK = SC - KC = (3sqrt(2))/(2) - (sqrt(2))/(6) = (9sqrt(2) - sqrt(2))/(6) = (8sqrt(2))/(6) = (4sqrt(2))/(3). Искомое отношение отрезков SK и KC (считая от вершины S): (SK)/(KC) = ( 4sqrt(2)3 )/( sqrt(2)6 ) = (4sqrt(2))/(3)*(6)/(sqrt(2)) = 8. Таким образом, плоскость alpha делит ребро SC в отношении 8:1.

8:1