Задача №15168

Решите неравенство

$$\frac{3\cdot 27^x-9^{x+1}+3^{x+2}-3}{50x^2-30x+4,5}\ge 0.$$

Преобразуем числитель: $27^x=(3^3{)}^x=3^{3x}\text{,}$ $9^{x+1}=(3^2{)}^{x+1}=3^{2x+2}\text{,}$ $3^{x+2}=3^x\cdot 9\text{.}$ Сделаем замену $3^x=t>0\text{.}$ Тогда:

$$3\cdot 27^x=3\cdot t^3,9^{x+1}=9\cdot t^2,3^{x+2}=9t.$$

Числитель: $3t^3-9t^2+9t-3=3(t^3-3t^2+3t-1)=3(t-1{)}^3\text{.}$

Знаменатель:

$$50x^2-30x+4,5=50x^2-30x+\frac{9}{2}.$$

Умножим на 2 для удобства: $100x^2-60x+9=(10x-3{)}^2\text{.}$ Таким образом, знаменатель равен

$$\frac{1}{2}(10x-3{)}^2.$$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{3(t-1{)}^3}{\frac{1}{2}(10x-3{)}^2}\ge 0\iff \frac{6(t-1{)}^3}{(10x-3{)}^2}\ge 0.$$

Квадрат в знаменателе всегда неотрицателен, причём равен нулю при $x=0,3\text{.}$ В этой точке знаменатель обращается в ноль, поэтому она не входит в ОДЗ. При всех остальных $x$ знаменатель положителен. Тогда неравенство равносильно:

$$(t-1{)}^3\ge 0\iff t-1\ge 0\iff t\ge 1.$$

Возвращаемся к $x\text{:}$

$$3^x\ge 1\iff 3^x\ge 3^0\iff x\ge 0.$$

Учитываем, что $x\ne 0,3$ (так как при $x=0,3$ знаменатель исходной дроби равен нулю).

Ответ: $x\ge 0\text{,}$ $x\ne 0,3\text{.}$