Точка M — середина ребра SA правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD . Точка N лежит на ребре SB , SN : NB = 1 : 2 . а) Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD . б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью CMN , если все рёбра пирамиды равны 6.

а) Построим сечение. Точки M и N лежат в плоскости SAB . Прямая MN пересекает прямую AB в некоторой точке P . По теореме Менелая для треугольника SAB и прямой MNP : (AM)/(MS) * (SN)/(NB) * (BP)/(PA) = 1 => (1)/(1) * (1)/(2) * (BP)/(PA) = 1 => BP = 2PA Так как AB = 6 , то PA = 6 , и точка A является серединой отрезка PB . Прямая CP лежит в плоскости основания и пересекает ребро AD в точке Q . Так как ABCD — квадрат, то BC AD . В треугольнике PBC отрезок AQ параллелен BC и точка A — середина PB , следовательно, AQ — средняя линия треугольника PBC . Значит, Q — середина AD . В грани SAD точки M и Q — середины рёбер SA и AD соответственно. Значит, MQ — средняя линия треугольника SAD , откуда MQ SD . Так как прямая MQ лежит в плоскости сечения CMN , то SD (CMN) . Что и требовалось доказать. б) Сечение представляет собой четырёхугольник MNQC . Найдём его площадь с помощью метода проекций: S_(MNQC) = (S_(proj))/(cos ) , где S_(proj) — площадь проекции сечения на плоскость основания, а — угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Проекцией сечения на плоскость ABCD является четырёхугольник M'N'CQ , где M' и N' — проекции точек M и N . Введём систему координат в основании: A(0; 0), B(6; 0), C(6; 6), D(0; 6) . Тогда центр основания O(3; 3) . Координаты вершин проекции: 1. Q(0; 3) , C(6; 6) ; 2. M' — середина AO , то есть M'(1,5; 1,5) ; 3. N' лежит на OB и делит его в отношении 1 : 2 , то есть N'(4; 2) . Площадь проекции M'N'CQ равна: S_(proj) = 11,25 = (45)/(4) Линия пересечения плоскости сечения с плоскостью основания — прямая CQ . Её уравнение в плоскости основания: x - 2y + 6 = 0 . Расстояние от точки M' до этой прямой: d = (|1,5 - 2 * 1,5 + 6|)/(sqrt(1^2 + (-2)^2)) = (4,5)/(sqrt(5)) Высота точки M над основанием равна половине высоты пирамиды. Так как все рёбра равны 6, высота SO = sqrt(6^2 - (32)^2) = 3sqrt(2) , откуда H_M = 1,5sqrt(2) . Тогда: tg = (H_M)/(d) = (1,5sqrt(2) * sqrt(5))/(4,5) = (sqrt(10))/(3) => cos = (1)/(sqrt(1 + tg^2 )) = (3)/(sqrt(19)) Искомая площадь сечения: S = (S_(proj))/(cos ) = (45/4)/(3/sqrt(19)) = (15sqrt(19))/(4) Ответ: а) доказано б) (15sqrt(19))/(4)

а) доказано б) \( \dfrac{15\sqrt{19}}{4} \)