Задача №15166

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_2(8x)\cdot {\log }_3(27x)}{x^2-|x|}⩽0.$$

Решим неравенство

$$\frac{{\log }_2(8x)\cdot {\log }_3(27x)}{x^2-|x|}⩽0.$$

Преобразуем логарифмы:

$${\log }_2(8x)={\log }_{2}8+{\log }_{2}x=3+{\log }_{2}x,$$ $${\log }_3(27x)={\log }_{3}27+{\log }_{3}x=3+{\log }_{3}x.$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$\frac{(3+{\log }_{2}x)(3+{\log }_{3}x)}{x^2-|x|}⩽0.$$

Найдём ОДЗ. Из логарифмов: $x>0\text{.}$ Знаменатель не равен нулю: $x^2-|x|\ne 0\text{.}$ При $x>0$ имеем $x^2-x\ne 0\text{,}$ то есть $x(x-1)\ne 0\text{,}$ откуда $x\ne 0$ и $x\ne 1\text{.}$ Учитывая $x>0\text{,}$ получаем $x\ne 1\text{.}$ Таким образом, ОДЗ: $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{.}$

Рассмотрим неравенство на ОДЗ. При $x>0$ знаменатель $x^2-x=x(x-1)$ положителен при $x>1$ и отрицателен при $0<x<1\text{.}$

Найдём нули числителя:

$$3+{\log }_{2}x=0\Rightarrow {\log }_{2}x=-3\Rightarrow x=2^{-3}=\frac{1}{8},$$ $$3+{\log }_{3}x=0\Rightarrow {\log }_{3}x=-3\Rightarrow x=3^{-3}=\frac{1}{27}.$$

Отметим точки $\frac{1}{27}\text{,}$ $\frac{1}{8}$ и $1$ (точка разрыва). Определим знаки выражения $\frac{(3+{\log }_{2}x)(3+{\log }_{3}x)}{x(x-1)}$ на интервалах: $(0;\frac{1}{27})\text{,}$ $(\frac{1}{27};\frac{1}{8})\text{,}$ $(\frac{1}{8};1)\text{,}$ $(1;+\infty )\text{.}$

1. При $0<x<\frac{1}{27}\text{:}$ ${\log }_{2}x<{\log }_2\frac{1}{27}<0\text{,}$ так что $3+{\log }_{2}x<0\text{;}$ аналогично $3+{\log }_{3}x<0\text{.}$ Произведение положительно. Знаменатель $x(x-1)<0\text{,}$ так как $0<x<1\text{.}$ Дробь отрицательна, следовательно, подходит.

2. При $\frac{1}{27}<x<\frac{1}{8}\text{:}$ $3+{\log }_{2}x<0$ (так как $x<\frac{1}{8}$), а $3+{\log }_{3}x>0$ (так как $x>\frac{1}{27}$). Произведение отрицательно. Знаменатель отрицателен, дробь положительна, не подходит.

3. При $\frac{1}{8}<x<1\text{:}$ $3+{\log }_{2}x>0\text{,}$ $3+{\log }_{3}x>0\text{,}$ произведение положительно, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна, подходит.

4. При $x>1\text{:}$ числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна, не подходит.

Включаем точки, где числитель равен нулю: $x=\frac{1}{27}$ и $x=\frac{1}{8}\text{.}$ Они не совпадают с $1\text{.}$

Ответ:

$$x\in \left(0;\frac{1}{27}\right]\cup \left[\frac{1}{8};1\right).$$