Решите неравенство (_2(8x) *_3(27x))/(x^2 - |x|) 0.

Решим неравенство (_2(8x) *_3(27x))/(x^2 - |x|) 0. Преобразуем логарифмы: _2(8x) = _2 8 + _2 x = 3 + _2 x, _3(27x) = _3 27 + _3 x = 3 + _3 x. Тогда неравенство принимает вид: ((3 + _2 x)(3 + _3 x))/(x^2 - |x|) 0. Найдём ОДЗ. Из логарифмов: x > 0. Знаменатель не равен нулю: x^2 - |x| != 0. При x > 0 имеем x^2 - x!= 0, то есть x(x - 1) != 0, откуда x!= 0 и x!= 1. Учитывая x > 0, получаем x!= 1. Таким образом, ОДЗ: x > 0, x!= 1. Рассмотрим неравенство на ОДЗ. При x > 0 знаменатель x^2 - x = x(x - 1) положителен при x > 1 и отрицателен при 0 < x < 1. Найдём нули числителя: 3 + _2 x = 0=>_2 x = -3=> x = 2^(-3) = (1)/(8), 3 + _3 x = 0=>_3 x = -3=> x = 3^(-3) = (1)/(27). Отметим точки (1)/(27), (1)/(8) и 1 (точка разрыва). Определим знаки выражения ((3 + _2 x)(3 + _3 x))/(x(x-1)) на интервалах: (0; (1)/(27)), ((1)/(27); (1)/(8)), ((1)/(8); 1), (1; +inf). 1. При 0 < x < (1)/(27): _2 x < _2(1)/(27) < 0, так что 3 + _2 x < 0; аналогично 3 + _3 x < 0. Произведение положительно. Знаменатель x(x-1) < 0, так как 0 < x < 1. Дробь отрицательна, следовательно, подходит. 2. При (1)/(27) < x < (1)/(8): 3 + _2 x < 0 (так как x < (1)/(8)), а 3 + _3 x > 0 (так как x > (1)/(27)). Произведение отрицательно. Знаменатель отрицателен, дробь положительна, не подходит. 3. При (1)/(8) < x < 1: 3 + _2 x > 0, 3 + _3 x > 0, произведение положительно, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна, подходит. 4. При x > 1: числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна, не подходит. Включаем точки, где числитель равен нулю: x = (1)/(27) и x = (1)/(8). Они не совпадают с 1. Ответ: xin(0; (1)/(27)] U[(1)/(8); 1).

\((0;1/27]\cup[1/8;1)\)