Задача №15165

Решите неравенство

$${\log }_3\left(\frac{1}{x}+2\right)-{\log }_3(x+5)⩾{\log }_3\left(\frac{x+4}{x^2}\right).$$

Найдём ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+2>0,\\ x+5>0,\\ \frac{x+4}{x^2}>0,\\ x\ne 0.\end{array}$$

Решим каждое неравенство:

1)

$$\frac{1}{x}+2>0\iff \frac{1+2x}{x}>0\iff \frac{2x+1}{x}>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-\frac{1}{2})\cup (0;+\infty ).$$

2) $x+5>0\Rightarrow x>-5\text{.}$

3) $\frac{x+4}{x^2}>0\text{:}$ знаменатель $x^2>0$ при $x\ne 0\text{,}$ поэтому неравенство равносильно $x+4>0\Rightarrow x>-4\text{.}$

4) $x\ne 0\text{.}$

Пересекая: из 1), 2), 3) и 4) получаем

$$x\in (-4;-\frac{1}{2})\cup (0;+\infty ).$$

Преобразуем неравенство:

$${\log }_3\left(\frac{1}{x}+2\right)-{\log }_3(x+5)⩾{\log }_3\left(\frac{x+4}{x^2}\right)\iff {\log }_3\frac{\frac{1}{x}+2}{x+5}⩾{\log }_3\frac{x+4}{x^2}.$$

Так как основание логарифма $3>1\text{,}$ то неравенство равносильно:

$$\frac{\frac{1}{x}+2}{x+5}⩾\frac{x+4}{x^2},\text{при условиях ОДЗ}.$$

Упростим левую часть:

$$\frac{1}{x}+2=\frac{1+2x}{x}.$$

Тогда:

$$\frac{\frac{1+2x}{x}}{x+5}⩾\frac{x+4}{x^2}\iff \frac{1+2x}{x(x+5)}⩾\frac{x+4}{x^2}.$$

Умножим обе части на $x^2>0$ (так как $x\ne 0$ и на ОДЗ $x^2>0$):

$$\frac{x(1+2x)}{x+5}⩾x+4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{x(1+2x)}{x+5}-(x+4)⩾0\iff \frac{x(1+2x)-(x+4)(x+5)}{x+5}⩾0.$$

Упростим числитель:

$$x(1+2x)-(x+4)(x+5)=x+2x^2-(x^2+9x+20)=2x^2+x-x^2-9x-20=x^2-8x-20=(x-10)(x+2).$$

Получаем:

$$\frac{(x-10)(x+2)}{x+5}⩾0.$$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=10\text{,}$ $x=-2\text{.}$ Нули знаменателя: $x=-5\text{.}$ Расставляем знаки на числовой прямой с учётом ОДЗ $x\in (-4;-\frac{1}{2})\cup (0;+\infty )\text{:}$

Интервалы: $(-\infty ;-5)\text{,}$ $(-5;-2)\text{,}$ $(-2;10)\text{,}$ $(10;+\infty )\text{.}$ Знак дроби: на $(-\infty ;-5)$ — "+", на $(-5;-2)$ — "−", на $(-2;10)$ — "+", на $(10;+\infty )$ — "−". Нам нужно $⩾0\text{,}$ поэтому $x\in (-\infty ;-5)\cup [-2;10]\text{.}$

Но с учётом ОДЗ: $x\in (-4;-\frac{1}{2})\cup (0;+\infty )\text{.}$ Пересекаем:

Из $(-\infty ;-5)$ ничего не берём.

Из $[-2;10]$ берём $[-2;-\frac{1}{2})\cup (0;10]\text{.}$ Проверим, входят ли границы: при $x=-2\text{:}$ $\frac{1}{x}+2=-\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}>0\text{,}$ $x+5=3>0\text{,}$ $\frac{x+4}{x^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}>0\text{,}$ $x\ne 0\text{,}$ значит, $x=-2$ входит. При $x=10$ также входит в ОДЗ. При $x=0$ не входит.

Ответ:

$$x\in [-2;-\frac{1}{2})\cup (0;10].$$