Решите неравенство _3( (1)/(x) + 2) - _3 (x + 5) _3( (x + 4)/(x^2)).

Найдём ОДЗ: cases (1)/(x)+2>0, x+5>0, (x+4)/(x^2)>0, x0. cases Решим каждое неравенство: 1) (1)/(x)+2>0<=>(1+2x)/(x)>0<=>(2x+1)/(x)>0=> xin(-inf;-12)U(0;+inf). 2) x+5>0=> x>-5 . 3) (x+4)/(x^2)>0: знаменатель x^2>0 при x0, поэтому неравенство равносильно x+4>0=> x>-4. 4) x0. Пересекая: из 1), 2), 3) и 4) получаем xin(-4;-12)U(0;+inf). Преобразуем неравенство: _3((1)/(x)+2)-_3(x+5) _3((x+4)/(x^2)) <=>_3(1x+2)/(x+5) _3(x+4)/(x^2). Так как основание логарифма 3>1, то неравенство равносильно: (1x+2)/(x+5) (x+4)/(x^2), при условиях ОДЗ. Упростим левую часть: (1)/(x)+2=(1+2x)/(x). Тогда: (1+2xx)/(x+5) (x+4)/(x^2)<=>(1+2x)/(x(x+5)) (x+4)/(x^2). Умножим обе части на x^2>0 (так как x0 и на ОДЗ x^2>0): (x(1+2x))/(x+5) x+4. Перенесём всё в одну сторону: (x(1+2x))/(x+5)-(x+4) 0<=>(x(1+2x)-(x+4)(x+5))/(x+5) 0. Упростим числитель: x(1+2x)-(x+4)(x+5)=x+2x^2-(x^2+9x+20)=2x^2+x-x^2-9x-20=x^2-8x-20=(x-10)(x+2). Получаем: ((x-10)(x+2))/(x+5) 0. Решаем методом интервалов. Нули числителя: x=10, x=-2. Нули знаменателя: x=-5. Расставляем знаки на числовой прямой с учётом ОДЗ xin(-4;-12)U(0;+inf): Интервалы: (-inf;-5), (-5;-2), (-2;10), (10;+inf). Знак дроби: на (-inf;-5) — "+", на (-5;-2) — "−", на (-2;10) — "+", на (10;+inf) — "−". Нам нужно 0, поэтому xin(-inf;-5)U[-2;10]. Но с учётом ОДЗ: xin(-4;-12)U(0;+inf). Пересекаем: Из (-inf;-5) ничего не берём. Из [-2;10] берём [-2;-12)U(0;10]. Проверим, входят ли границы: при x=-2: (1)/(x)+2=-12+2=32>0, x+5=3>0, (x+4)/(x^2)=(2)/(4)=12>0, x0, значит, x=-2 входит. При x=10 также входит в ОДЗ. При x=0 не входит. Ответ: xin[-2;-12)U(0;10].

\([-2,-\dfrac{1}{2})\cup(0,10]\)