В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём BB_1 — образующая цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол ABC_1 прямой. б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC_1, если AB = 21, BB_1 = 12, B_1C_1 = 16.

а) Проведём плоскость через ось цилиндра и прямую AC_1. Она пересекает основания по диаметрам. Обозначим второй конец диаметра, проходящего через точку A в нижнем основании, через C. Тогда AC — диаметр окружности нижнего основания, следовательно, ABC = 90^ как угол, опирающийся на диаметр. Отрезок CC_1 является образующей, поэтому он перпендикулярен плоскости основания, значит, CC_1 AB. Таким образом, прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и CC_1 в плоскости BCC_1. Следовательно, AB перпендикулярна плоскости BCC_1, а потому и любой прямой в этой плоскости, в частности BC_1. Значит, ABC_1 = 90^. б) Поскольку ABC_1 = 90^, треугольник ABC_1 прямоугольный с гипотенузой AC_1. Расстояние от точки B до прямой AC_1 равно высоте h, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе. Найдём стороны треугольника. Дано: AB = 21. Отрезок BB_1 — образующая, поэтому BB_1 = 12 и BB_1 плоскости верхнего основания. Тогда BB_1 B_1C_1, так как B_1C_1 лежит в верхнем основании. В прямоугольном треугольнике BB_1C_1 по теореме Пифагора: BC_1 = sqrt(BB_1^2 + B_1C_1^2) = sqrt(12^2 + 16^2) = sqrt(144 + 256) = sqrt(400) = 20. Теперь из треугольника ABC_1 находим гипотенузу: AC_1 = sqrt(AB^2 + BC_1^2) = sqrt(21^2 + 20^2) = sqrt(441 + 400) = sqrt(841) = 29. Искомая высота: h = (AB* BC_1)/(AC_1) = (21* 20)/(29) = (420)/(29). Ответ: (420)/(29).

\(\dfrac{420}{29}\)