Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B1 и C1, причём BB1 — образующая цилиндра, а отрезок AC1 пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол ABC1 прямой.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1, если AB=21, BB1=12, B1C1=16.
а) Проведём плоскость через ось цилиндра и прямую AC1. Она пересекает основания по диаметрам. Обозначим второй конец диаметра, проходящего через точку A в нижнем основании, через C. Тогда AC — диаметр окружности нижнего основания, следовательно, ∠ABC=90∘ как угол, опирающийся на диаметр. Отрезок CC1 является образующей, поэтому он перпендикулярен плоскости основания, значит, CC1⊥AB. Таким образом, прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и CC1 в плоскости BCC1. Следовательно, AB перпендикулярна плоскости BCC1, а потому и любой прямой в этой плоскости, в частности BC1. Значит, ∠ABC1=90∘.
б) Поскольку ∠ABC1=90∘, треугольник ABC1 прямоугольный с гипотенузой AC1. Расстояние от точки B до прямой AC1 равно высоте h, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе. Найдём стороны треугольника.
Дано: AB=21. Отрезок BB1 — образующая, поэтому BB1=12 и BB1⊥ плоскости верхнего основания. Тогда BB1⊥B1C1, так как B1C1 лежит в верхнем основании. В прямоугольном треугольнике BB1C1 по теореме Пифагора:
BC1=BB12+B1C12=122+162=144+256=400=20.Теперь из треугольника ABC1 находим гипотенузу:
AC1=AB2+BC12=212+202=441+400=841=29.Искомая высота:
h=AC1AB⋅BC1=2921⋅20=29420.Ответ: 29420.