Перейти к основному содержимому
  1. Математика
  2. Математика (профиль) ЕГЭ
  3. Задачи
  4. №15163

Задача №15163

Сложно

Задача #15163

Сечения призм•3 балла

Проверить решение?

Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка

Решай похожие задачи

Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения

#16037

Задача по теме "Сечения призм"

Сложно
#17311

Задача по теме "Сечения призм"

Сложно
#17080

Задача по теме "Сечения призм"

Сложно

Информация

ЭкзаменЕГЭ
Часть

2

Раздел

Геометрия

Тип задачи№15 Стереометрия
ТемаСечения призм
ИсточникОткрытый банк задач ФИПИ
Откуда задача

ФИПИ

Теги
Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхностьСечение, параллельное или перпендикулярное плоскостиРасстояние между точкамиПерпендикулярность прямой и плоскостиСечение треугольник

В основании прямой призмы ABCA1​B1​C1​ лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Точка P делит ребро AB в отношении AP:PB=1:3, а точка Q — середина ребра A1​C1​. Через середину M ребра BC провели плоскость α, перпендикулярную отрезку PQ.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро AC пополам.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1​C1​, считая от точки A1​, если известно, что AB=AA1​, AB:BC=2:5.

Дано: прямая призма ABCA1​B1​C1​, △ABC — равнобедренный с основанием AB, AP:PB=1:3, Q — середина A1​C1​, M — середина BC, плоскость α проходит через M перпендикулярно PQ.

Введем обозначения: пусть AB=v, AC=c, AA1​​=h. Так как призма прямая, h⊥v и h⊥c.

Из условия: AB=AA1​=∣v∣=2k, AB:BC=2:5. Так как AC=BC в равнобедренном треугольнике, то ∣c∣=5k. Тогда в △ABC: v⋅c=∣v∣⋅∣c∣⋅cos∠BAC. По теореме косинусов:

cos∠BAC=2⋅AB⋅ACAB2+AC2−BC2​=2⋅2k⋅5k(2k)2+(5k)2−(5k)2​=20k24k2​=51​.

Следовательно, v⋅c=2k⋅5k⋅51​=2k2. Также v⋅v=4k2, c⋅c=25k2, и h⋅h=(2k)2=4k2.

Координаты точек в векторной форме (пусть A — начало координат):
B=v, C=c.
P делит AB в отношении AP:PB=1:3, так что P=41​v.
M — середина BC: M=2v+c​.
N — середина AC: N=2c​.
Q — середина A1​C1​: A1​=h, C1​=c+h, так что Q=2h+(c+h)​=h+2c​.

а) Докажем, что α делит AC пополам.
Найдем векторы MN и PQ​:
MN=N−M=2c​−2v+c​=−2v​.
PQ​=Q−P=(h+2c​)−4v​=h+2c​−4v​.

Вычислим скалярное произведение:

MN⋅PQ​=(−2v​)⋅(h+2c​−4v​)=−21​(v⋅h+2v⋅c​−4v⋅v​).

Так как h⊥v, то v⋅h=0. Подставляя значения, получаем:

MN⋅PQ​=−21​(0+22k2​−44k2​)=−21​(k2−k2)=0.

Следовательно, MN⊥PQ​. Поскольку плоскость α проходит через M и перпендикулярна PQ, и MN⊥PQ​, то прямая MN лежит в α. Значит, точка N (середина AC) лежит в α. Утверждение а) доказано.

б) Пусть L — точка на A1​C1​ такая, что A1​L:LC1​=λ:(1−λ). Тогда L=A1​+λA1​C1​​=h+λc.

Вектор ML=L−M=h−2v​+(λ−21​)c.

Условие L∈α эквивалентно ML⊥PQ​. Найдем λ из уравнения ML⋅PQ​=0:

ML⋅PQ​=[h−2v​+(λ−21​)c]⋅[h+2c​−4v​]=0.

Раскроем скалярное произведение, учитывая ортогональность h и векторам основания:

ML⋅PQ​=h⋅h+0+0+(−2v​)⋅(2c​−4v​)+0+(λ−21​)c⋅(2c​−4v​)=0.

Ранее было показано, что (−2v​)⋅(2c​−4v​)=0. Вычислим оставшуюся часть:

c⋅(2c​−4v​)=2c⋅c​−4c⋅v​=225k2​−42k2​=12k2.

Подставляем в уравнение:

4k2+12k2(λ−21​)=0⇒1+3(λ−21​)=0⇒3λ=21​⇒λ=61​.

Таким образом, A1​L:LC1​=λ:(1−λ)=61​:65​=1:5.

Ответ:

б) 1:5.