В основании прямой призмы ABCA_1B_1C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB . Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3 , а точка Q — середина ребра A_1 C_1 . Через середину M ребра BC провели плоскость alpha , перпендикулярную отрезку PQ . а) Докажите, что плоскость alpha делит ребро AC пополам. б) Найдите отношение, в котором плоскость alpha делит ребро A_1 C_1 , считая от точки A_1 , если известно, что AB = AA_1 , AB : BC = 2 : 5 .

Дано: прямая призма ABCA_1B_1C_1 , ABC — равнобедренный с основанием AB , AP : PB = 1 : 3 , Q — середина A_1C_1 , M — середина BC , плоскость alpha проходит через M перпендикулярно PQ . Введем обозначения: пусть AB = v , AC = c , AA_1 = h . Так как призма прямая, h v и h c . Из условия: AB = AA_1 = |v| = 2k , AB : BC = 2 : 5 . Так как AC = BC в равнобедренном треугольнике, то |c| = 5k . Тогда в ABC : v * c = |v| * |c| * cos BAC . По теореме косинусов: cos BAC = (AB^2 + AC^2 - BC^2)/(2 * AB * AC) = ((2k)^2 + (5k)^2 - (5k)^2)/(2 * 2k * 5k) = (4k^2)/(20k^2) = (1)/(5). Следовательно, v * c = 2k * 5k * (1)/(5) = 2k^2 . Также v * v = 4k^2 , c * c = 25k^2 , и h * h = (2k)^2 = 4k^2 . Координаты точек в векторной форме (пусть A — начало координат): B = v , C = c . P делит AB в отношении AP : PB = 1 : 3 , так что P = (1)/(4) v . M — середина BC : M = (v + c)/(2) . N — середина AC : N = (c)/(2) . Q — середина A_1C_1 : A_1 = h , C_1 = c + h , так что Q = (h + (c + h))/(2) = h + (c)/(2) . а) Докажем, что alpha делит AC пополам. Найдем векторы MN и PQ : MN = N - M = (c)/(2) - (v + c)/(2) = -(v)/(2) . PQ = Q - P = ( h + (c)/(2) ) - (v)/(4) = h + (c)/(2) - (v)/(4) . Вычислим скалярное произведение: MN * PQ = ( -(v)/(2) ) * ( h + (c)/(2) - (v)/(4) ) = -(1)/(2) ( v * h + (v * c)/(2) - (v * v)/(4) ). Так как h v , то v * h = 0 . Подставляя значения, получаем: MN * PQ = -(1)/(2) ( 0 + (2k^2)/(2) - (4k^2)/(4) ) = -(1)/(2) (k^2 - k^2) = 0. Следовательно, MN PQ . Поскольку плоскость alpha проходит через M и перпендикулярна PQ , и MN PQ , то прямая MN лежит в alpha . Значит, точка N (середина AC ) лежит в alpha . Утверждение а) доказано. б) Пусть L — точка на A_1C_1 такая, что A_1L : LC_1 = : (1 - ) . Тогда L = A_1 + A_1C_1 = h + c . Вектор ML = L - M = h - (v)/(2) + ( - (1)/(2) ) c . Условие L in alpha эквивалентно ML PQ . Найдем из уравнения ML * PQ = 0 : ML * PQ = [ h - (v)/(2) + ( - (1)/(2) ) c ] * [ h + (c)/(2) - (v)/(4) ] = 0. Раскроем скалярное произведение, учитывая ортогональность h и векторам основания: ML * PQ = h * h + 0 + 0 + ( -(v)/(2) ) * ( (c)/(2) - (v)/(4) ) + 0 + ( - (1)/(2) ) c * ( (c)/(2) - (v)/(4) ) = 0. Ранее было показано, что ( -(v)/(2) ) * ( (c)/(2) - (v)/(4) ) = 0 . Вычислим оставшуюся часть: c * ( (c)/(2) - (v)/(4) ) = (c * c)/(2) - (c * v)/(4) = (25k^2)/(2) - (2k^2)/(4) = 12k^2. Подставляем в уравнение: 4k^2 + 12k^2 ( - (1)/(2) ) = 0 => 1 + 3 ( - (1)/(2) ) = 0 => 3 = (1)/(2) => = (1)/(6). Таким образом, A_1L : LC_1 = : (1 - ) = (1)/(6) : (5)/(6) = 1 : 5 . Ответ: б) 1 : 5 .

1:5