Задача №15162

Решите неравенство

$$\frac{2}{3^x+27}⩾\frac{1}{3^x-27}$$

ОДЗ: $3^x+27\ne 0$ (выполнено всегда), $3^x-27\ne 0\Rightarrow x\ne 3\text{.}$ Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{2}{3^x+27}-\frac{1}{3^x-27}⩾0\iff \frac{2(3^x-27)-(3^x+27)}{(3^x+27)(3^x-27)}⩾0\iff \frac{3^x-81}{(3^x+27)(3^x-27)}⩾0.$$

Знаменатель $3^x+27>0$ при всех $x\text{.}$ Тогда неравенство равносильно:

$$\frac{3^x-81}{3^x-27}⩾0,x\ne 3.$$

Сделаем замену $t=3^x>0\text{:}$

$$\frac{t-81}{t-27}⩾0.$$

Решаем методом интервалов для $t>0\text{:}$ нули числителя $t=81\text{,}$ знаменателя $t=27\text{.}$ Получаем $t⩽27$ или $t⩾81\text{,}$ но $t>0$ и $t\ne 27\text{.}$ Учитывая $t=3^x\text{:}$
1) $0<3^x<27\Rightarrow x<3\text{;}$
2) $3^x=27$ исключаем ($x\ne 3$);
3) $3^x⩾81\Rightarrow x⩾4\text{.}$
Объединяя: $x<3$ или $x⩾4\text{.}$

Ответ: $x<3$ или $x⩾4$