Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 плоскостью alpha , содержащей прямую BD_1 и параллельной прямой AC , является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями alpha и BCC_1 , если AA_1 = 6 , AB = 4 .

а) Пусть AB=a, AD=b, AA_1=h. Введём прямоугольную систему координат: A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,b,0), A_1(0,0,h), тогда C(a,b,0), D_1(0,b,h). Плоскость alpha проходит через B и D_1 и параллельна AC, то есть параллельна вектору AC=(a,b,0). Также она содержит вектор BD_1=(-a,b,h). Нормальный вектор плоскости: n=BD_1*AC=(-hb,ha,-2ab). Уравнение плоскости alpha можно записать в виде (x)/(a)-(y)/(b)+(2z)/(h)=1, так как оно выполняется для B(a,0,0) и D_1(0,b,h). Найдём точки пересечения alpha с рёбрами AA_1 и CC_1. - На AA_1: x=0, y=0. Тогда (2z)/(h)=1=> z=(h)/(2). Значит, E=alphan AA_1 — середина AA_1. - На CC_1: x=a, y=b. Тогда 1-1+(2z)/(h)=1=> z=(h)/(2). Значит, F=alphan CC_1 — середина CC_1. Итак, сечение — четырёхугольник B E D_1 F (точки Bin AB, Ein AA_1, D_1in DD_1, Fin CC_1). По условию он является ромбом, значит, все его стороны равны, в частности BE=ED_1. Вычислим длины: BE^2=(a-0)^2+(0-0)^2+(0-(h)/(2))^2=a^2+(h^2)/(4), ED_1^2=(0-0)^2+(b-0)^2+(h-(h)/(2))^2=b^2+(h^2)/(4). Из BE=ED_1 получаем a^2+(h^2)/(4)=b^2+(h^2)/(4)=> a=b. Следовательно, AB=AD, а так как ABCD — прямоугольник, то ABCD — квадрат. б) По условию AA_1=h=6, AB=a=4. Из пункта (а) AD=b=4. При a=b=4, h=6 уравнение плоскости alpha: (x)/(4)-(y)/(4)+(2z)/(6)=1=> x-y+(4)/(3)z=4. Нормальный вектор alpha: n_(alpha)=(3,-3,4). Плоскость BCC_1 имеет уравнение x=4, её нормаль n_(BCC_1)=(1,0,0). Угол между плоскостями равен острому углу между нормалями: cos=(| n_(alpha)* n_(BCC_1)|)/(| n_(alpha)|| n_(BCC_1)|)=(|3|)/(sqrt(3^2+(-3)^2+4^2))=(3)/(sqrt(34)). Тогда tg=(sqrt(1-cos^2))/(cos)=(sqrt(1-934))/(3sqrt(34))=(5sqrt(34))/(3sqrt(34))=(5)/(3), следовательно, =arctg(5)/(3). Ответ: а) Грань ABCD — квадрат. б) =arctg(5)/(3).

а) ABCD — квадрат б) \( \arctg \dfrac{5}{3} \)