В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 известно, что AB = 2 . Плоскость alpha проходит через вершины A_1 и B и середину M ребра CC_1 . а) Докажите, что сечение призмы ABCA_1B_1C_1 плоскостью alpha является равнобедренным треугольником. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения плоскостью alpha равна 6.

а) Докажем, что сечение призмы плоскостью alpha является равнобедренным треугольником. 1. Плоскость alpha проходит через точки A_1 , B и M (середина CC_1 ). Эти точки не лежат на одной прямой, поэтому сечением является треугольник A_1BM . 2. В правильной треугольной призме ABCA_1B_1C_1 с AB = 2 все стороны оснований равны 2, а боковые рёбра равны и перпендикулярны основаниям. Обозначим высоту призмы через H . Рассмотрим треугольник AA_1B . Так как AA_1 ABC , то AA_1 AB . В прямоугольном треугольнике AA_1B с катетами AA_1 = H и AB = 2 по теореме Пифагора: A_1B = sqrt(AB^2 + AA_1^2) = sqrt(2^2 + H^2) = sqrt(4 + H^2). Рассмотрим треугольник A_1C_1M . В прямоугольнике ACC_1A_1 (боковая грань) точка M — середина CC_1 , поэтому C_1M = (H)/(2) . Так как A_1C_1 лежит в основании и перпендикулярно C_1C , то A_1C_1 C_1M . В прямоугольном треугольнике A_1C_1M : A_1M = sqrt(A_1C_1^2 + C_1M^2) = sqrt(2^2 + ( (H)/(2) )^2) = sqrt(4 + (H^2)/(4)). Аналогично, в прямоугольнике BCC_1B_1 , треугольник BCM прямоугольный с BC = 2 , CM = (H)/(2) , поэтому: BM = sqrt(BC^2 + CM^2) = sqrt(2^2 + ( (H)/(2) )^2) = sqrt(4 + (H^2)/(4)). Таким образом, A_1M = BM , следовательно, треугольник A_1BM равнобедренный с основанием A_1B . б) Найдём высоту призмы H , если площадь сечения равна 6. Площадь треугольника A_1BM равна S = 6 . В равнобедренном треугольнике A_1BM проведём высоту MK к основанию A_1B . Тогда MK также является медианой, поэтому A_1K = KB = (1)/(2) A_1B . Из прямоугольного треугольника MKB : MK^2 = BM^2 - KB^2 = ( sqrt(4 + (H^2)/(4)) )^2 - ( (1)/(2) sqrt(4 + H^2) )^2 = 4 + (H^2)/(4) - (1)/(4)(4 + H^2) = 4 + (H^2)/(4) - 1 - (H^2)/(4) = 3. Следовательно, MK = sqrt(3) . Тогда площадь треугольника: S = (1)/(2) * A_1B * MK = (1)/(2) * sqrt(4 + H^2) * sqrt(3) = (sqrt(3))/(2) sqrt(4 + H^2). Приравниваем к 6: (sqrt(3))/(2) sqrt(4 + H^2) = 6 => sqrt(4 + H^2) = (12)/(sqrt(3)) = 4sqrt(3) => 4 + H^2 = (4sqrt(3))^2 = 48 => H^2 = 44 => H = 2sqrt(11). Высота призмы положительна, поэтому H = 2sqrt(11) . Ответ: 2sqrt(11)

\( 2\sqrt{11} \)