Задача №15159

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ через середину $M$ диагонали $A{C}_1$ проведена плоскость $\alpha$ перпендикулярно этой диагонали, $AB=5\text{,}$ $BC=3\text{,}$ $A{A}_1=4\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1\text{.}$

б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1{B}_1\text{.}$

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Ось x направим по AB, ось y — по AD, ось z — по AA₁. Тогда координаты вершин:

$$A(0;0;0),B(5;0;0),D(0;3;0),A_1(0;0;4).$$

Из свойств параллелепипеда:

$$C_1(5;3;4),D_1(0;3;4).$$

Точка M — середина AC₁:

$$M\left(\frac{0+5}{2};\frac{0+3}{2};\frac{0+4}{2}\right)=(2,5;1,5;2).$$

Плоскость α проходит через M и перпендикулярна вектору $\overrightarrow{A{C}_1}=(5;3;4)\text{.}$ Следовательно, точка X(x;y;z) принадлежит α тогда и только тогда, когда $\overrightarrow{MX}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}=0\text{.}$

а) Проверим принадлежность точки D₁. Найдем вектор:

$$\overrightarrow{M{D}_1}=(0-2,5;3-1,5;4-2)=(-2,5;1,5;2).$$

Вычислим скалярное произведение:

$$\overrightarrow{M{D}_1}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}=(-2,5)\cdot 5+1,5\cdot 3+2\cdot 4=-12,5+4,5+8=0.$$

Значит, D₁ ∈ α.

б) Пусть плоскость α пересекает ребро A₁B₁ в точке T. Ребро A₁B₁ лежит на прямой, параллельной оси x, с фиксированными y=0, z=4. Координаты точек ребра:

$$A_1(0;0;4),B_1(5;0;4).$$

Параметризуем: T(5t; 0; 4), где t ∈ [0;1] (при t=0 получаем A₁, при t=1 — B₁).

Вектор $\overrightarrow{MT}=(5t-2,5;-1,5;2)\text{.}$

Условие перпендикулярности:

$$\overrightarrow{MT}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}=(5t-2,5)\cdot 5+(-1,5)\cdot 3+2\cdot 4=0.$$

Раскрываем скобки:

$$25t-12,5-4,5+8=0\Rightarrow 25t-9=0\Rightarrow t=\frac{9}{25}.$$

Таким образом, точка T делит отрезок A₁B₁ в отношении

$$A_{1}T:T{B}_1=t:(1-t)=\frac{9}{25}:\frac{16}{25}=9:16.$$

(считая от A₁ к B₁).