В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 через середину M диагонали AC_1 проведена плоскость alpha перпендикулярно этой диагонали, AB = 5, BC = 3, AA_1 = 4. а) Докажите, что плоскость alpha содержит точку D_1. б) Найдите отношение, в котором плоскость alpha делит ребро A_1B_1.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A. Ось x направим по AB, ось y — по AD, ось z — по AA₁. Тогда координаты вершин: A(0;0;0), B(5;0;0), D(0;3;0), A_1(0;0;4). Из свойств параллелепипеда: C_1(5;3;4), D_1(0;3;4). Точка M — середина AC₁: M((0+5)/(2);(0+3)/(2);(0+4)/(2)) = (2,5;1,5;2). Плоскость α проходит через M и перпендикулярна вектору AC_1 = (5;3;4). Следовательно, точка X(x;y;z) принадлежит α тогда и только тогда, когда MX*AC_1 = 0. а) Проверим принадлежность точки D₁. Найдем вектор: MD_1 = (0-2,5;3-1,5;4-2) = (-2,5;1,5;2). Вычислим скалярное произведение: MD_1*AC_1 = (-2,5)* 5 + 1,5* 3 + 2* 4 = -12,5 + 4,5 + 8 = 0. Значит, D₁ ∈ α. б) Пусть плоскость α пересекает ребро A₁B₁ в точке T. Ребро A₁B₁ лежит на прямой, параллельной оси x, с фиксированными y=0, z=4. Координаты точек ребра: A_1(0;0;4), B_1(5;0;4). Параметризуем: T(5t; 0; 4), где t ∈ [0;1] (при t=0 получаем A₁, при t=1 — B₁). Вектор MT = (5t-2,5;-1,5;2). Условие перпендикулярности: MT*AC_1 = (5t-2,5)* 5 + (-1,5)* 3 + 2* 4 = 0. Раскрываем скобки: 25t - 12,5 - 4,5 + 8 = 0 => 25t - 9 = 0 => t = (9)/(25). Таким образом, точка T делит отрезок A₁B₁ в отношении A_1T : TB_1 = t : (1-t) = (9)/(25) : (16)/(25) = 9:16. (считая от A₁ к B₁).

\(9:16\)