В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB = 6sqrt(2) , AD = 10 , AA_1 = 16 . На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1E : EA = 5 : 3 и B_1F : FB = 5 : 11 . Точка T — середина ребра B_1C_1 . а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D_1 . б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT .

а) Введём прямоугольную систему координат: A(0; 0; 0) , B(6sqrt(2); 0; 0) , D(0; 10; 0) , A_1(0; 0; 16) , B_1(6sqrt(2); 0; 16) , C_1(6sqrt(2); 10; 16) , D_1(0; 10; 16) . Точка E на AA_1 : A_1E:EA = 5:3 , значит EA = (3)/(8)AA_1 = 6 , поэтому E(0; 0; 6) . Точка F на BB_1 : B_1F:FB = 5:11 , значит FB = (11)/(16)BB_1 = 11 , поэтому F(6sqrt(2); 0; 11) . Точка T — середина B_1C_1 : T(6sqrt(2); 5; 16) . Найдём уравнение плоскости EFT в виде ax + by + cz + d = 0 . Подставим координаты точек: Для E(0; 0; 6) : 6c + d = 0 => d = -6c . Для F(6sqrt(2); 0; 11) : 6sqrt(2)a + 11c + d = 0 => 6sqrt(2)a + 11c - 6c = 0 => 6sqrt(2)a + 5c = 0 => a = -(5c)/(6sqrt(2)) . Для T(6sqrt(2); 5; 16) : 6sqrt(2)a + 5b + 16c + d = 0 . Подставляем a и d : -(5c)/(6sqrt(2)) * 6sqrt(2) + 5b + 16c - 6c = 0 => -5c + 5b + 10c = 0 => 5b + 5c = 0 => b = -c. Выберем c = 6sqrt(2) для удобства. Тогда a = -5 , b = -6sqrt(2) , d = -6 * 6sqrt(2) = -36sqrt(2) . Уравнение плоскости: -5x - 6sqrt(2)y + 6sqrt(2)z - 36sqrt(2) = 0 или, умножив на -1, 5x + 6sqrt(2)y - 6sqrt(2)z + 36sqrt(2) = 0 . Подставим координаты D_1(0; 10; 16) : 5 * 0 + 6sqrt(2) * 10 - 6sqrt(2) * 16 + 36sqrt(2) = 60sqrt(2) - 96sqrt(2) + 36sqrt(2) = 0. Следовательно, D_1 лежит в плоскости EFT , что и требовалось доказать. б) Сечением параллелепипеда плоскостью EFT является четырёхугольник EFTD_1 . Найдём его площадь через диагонали ET и FD_1 . Координаты векторов: ET = (6sqrt(2); 5; 10), FD_1 = (-6sqrt(2); 10; 5). Длины диагоналей: |ET| = sqrt((62)^2 + 5^2 + 10^2) = sqrt(72 + 25 + 100) = sqrt(197), |FD_1| = sqrt((-62)^2 + 10^2 + 5^2) = sqrt(72 + 100 + 25) = sqrt(197). Скалярное произведение: ET * FD_1 = 6sqrt(2) * (-6sqrt(2)) + 5 * 10 + 10 * 5 = -72 + 50 + 50 = 28. Площадь выпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними: S = (1)/(2) d_1 d_2 sin . Найдём косинус угла между диагоналями: cos = (|ET * FD_1|)/(|ET| * |FD_1|) = (28)/(197). Тогда синус угла: sin = sqrt(1 - ((28)/(197))^2) = sqrt((197^2 - 28^2)/(197^2)) = (sqrt(38025))/(197) = (195)/(197). Вычислим площадь: S = (1)/(2) * sqrt(197) * sqrt(197) * (195)/(197) = (1)/(2) * 197 * (195)/(197) = 97,5. Ответ: 97,5.

97,5