Задача №15158

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}\text{,}$ $AD=10\text{,}$ $A{A}_1=16\text{.}$ На рёбрах $A{A}_1$ и $B{B}_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_{1}E:EA=5:3$ и $B_{1}F:FB=5:11\text{.}$ Точка $T$ — середина ребра $B_1{C}_1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1\text{.}$
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT\text{.}$

а) Введём прямоугольную систему координат: $A(0;0;0)\text{,}$ $B(6\sqrt{2};0;0)\text{,}$ $D(0;10;0)\text{,}$ $A_1(0;0;16)\text{,}$ $B_1(6\sqrt{2};0;16)\text{,}$ $C_1(6\sqrt{2};10;16)\text{,}$ $D_1(0;10;16)\text{.}$

Точка $E$ на $A{A}_1\text{:}$ $A_{1}E:EA=5:3\text{,}$ значит $EA=\frac{3}{8}A{A}_1=6\text{,}$ поэтому $E(0;0;6)\text{.}$

Точка $F$ на $B{B}_1\text{:}$ $B_{1}F:FB=5:11\text{,}$ значит $FB=\frac{11}{16}B{B}_1=11\text{,}$ поэтому $F(6\sqrt{2};0;11)\text{.}$

Точка $T$ — середина $B_1{C}_1\text{:}$ $T(6\sqrt{2};5;16)\text{.}$

Найдём уравнение плоскости $EFT$ в виде $ax+by+cz+d=0\text{.}$ Подставим координаты точек:

Для $E(0;0;6)\text{:}$ $6c+d=0\Rightarrow d=-6c\text{.}$

Для $F(6\sqrt{2};0;11)\text{:}$ $6\sqrt{2}a+11c+d=0\Rightarrow 6\sqrt{2}a+11c-6c=0\Rightarrow 6\sqrt{2}a+5c=0\Rightarrow a=-\frac{5c}{6\sqrt{2}}\text{.}$

Для $T(6\sqrt{2};5;16)\text{:}$ $6\sqrt{2}a+5b+16c+d=0\text{.}$ Подставляем $a$ и $d\text{:}$

$$-\frac{5c}{6\sqrt{2}}\cdot 6\sqrt{2}+5b+16c-6c=0\Rightarrow -5c+5b+10c=0\Rightarrow 5b+5c=0\Rightarrow b=-c.$$

Выберем $c=6\sqrt{2}$ для удобства. Тогда $a=-5\text{,}$ $b=-6\sqrt{2}\text{,}$ $d=-6\cdot 6\sqrt{2}=-36\sqrt{2}\text{.}$ Уравнение плоскости: $-5x-6\sqrt{2}y+6\sqrt{2}z-36\sqrt{2}=0$ или, умножив на $-1\text{,}$ $5x+6\sqrt{2}y-6\sqrt{2}z+36\sqrt{2}=0\text{.}$

Подставим координаты $D_1(0;10;16)\text{:}$

$$5\cdot 0+6\sqrt{2}\cdot 10-6\sqrt{2}\cdot 16+36\sqrt{2}=60\sqrt{2}-96\sqrt{2}+36\sqrt{2}=0.$$

Следовательно, $D_1$ лежит в плоскости $EFT\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Сечением параллелепипеда плоскостью $EFT$ является четырёхугольник $EFT{D}_1\text{.}$ Найдём его площадь через диагонали $ET$ и $F{D}_1\text{.}$

Координаты векторов:

$$\overrightarrow{ET}=(6\sqrt{2};5;10),\overrightarrow{F{D}_1}=(-6\sqrt{2};10;5).$$

Длины диагоналей:

$$|ET|=\sqrt{(6\sqrt{2}{)}^2+5^2+10^2}=\sqrt{72+25+100}=\sqrt{197},$$ $$|F{D}_1|=\sqrt{(-6\sqrt{2}{)}^2+10^2+5^2}=\sqrt{72+100+25}=\sqrt{197}.$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{ET}\cdot \overrightarrow{F{D}_1}=6\sqrt{2}\cdot (-6\sqrt{2})+5\cdot 10+10\cdot 5=-72+50+50=28.$$

Площадь выпуклого четырёхугольника через диагонали и угол между ними:

$$S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \phi .$$

Найдём косинус угла между диагоналями:

$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{ET}\cdot \overrightarrow{F{D}_1}|}{|ET|\cdot |F{D}_1|}=\frac{28}{197}.$$

Тогда синус угла:

$$\sin \phi =\sqrt{1-{\left(\frac{28}{197}\right)}^2}=\sqrt{\frac{197^2-28^2}{197^2}}=\frac{\sqrt{38025}}{197}=\frac{195}{197}.$$

Вычислим площадь:

$$S=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{197}\cdot \sqrt{197}\cdot \frac{195}{197}=\frac{1}{2}\cdot 197\cdot \frac{195}{197}=97,5.$$

Ответ: 97,5.