Решите неравенство 3^x + (243)/(3^x - 36) 0.
Сделаем замену: t = 3^x > 0 . Тогда неравенство принимает вид: t + (243)/(t - 36) 0. Приведём к общему знаменателю: (t(t-36) + 243)/(t-36) 0 <=> (t^2 - 36t + 243)/(t-36) 0. Решим квадратное уравнение: t^2 - 36t + 243 = 0 . Дискриминант: D = 1296 - 972 = 324 , корни: t_(1,2) = (36+- 18)/(2), то есть t_1 = 9 , t_2 = 27 . Тогда числитель разлагается как (t-9)(t-27) . Получаем: ((t-9)(t-27))/(t-36) 0. Решим методом интервалов на t > 0 . Нули числителя: t = 9 , t = 27 ; знаменатель обращается в ноль при t = 36 . Расставим знаки на интервалах: (0;9) – проверяем, например, t=1 : (+)(-)/(-) = (+)/(-) = (-) ; (9;27) – t=10 : (+)(-)/(-) = (-)/(-) = (+) ; (27;36) – t=30 : (-)(-)/(-) = (+)/(-) = (-) ; (36; +inf) – t=40 : (-)(-)/(+) = (+)/(+) = (+) . Нас интересуют неотрицательные значения. Также включаем точки, где числитель равен нулю (знаменатель не равен нулю): t=9 и t=27 . Исключаем t=36 , так как знаменатель обращается в ноль. Таким образом, tin [9; 27] U (36; +inf) . Возвращаемся к x : 3^x = t . 1) 9 3^x 27 => 3^2 3^x 3^3 => 2 x 3 . 2) 3^x > 36 => x > _3 36 . Ответ: xin [2; 3] U (_3 36; +inf) .
\([2,3]\cup(log_336,+\infty)\)