Задача №15157

Решите неравенство

$$3^x+\frac{243}{3^x-36}⩾0.$$

Сделаем замену: $t=3^x>0\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид:

$$t+\frac{243}{t-36}⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t(t-36)+243}{t-36}⩾0\iff \frac{t^2-36t+243}{t-36}⩾0.$$

Решим квадратное уравнение: $t^2-36t+243=0\text{.}$ Дискриминант: $D=1296-972=324\text{,}$ корни:

$$t_{1,2}=\frac{36\pm 18}{2},$$

то есть $t_1=9\text{,}$ $t_2=27\text{.}$ Тогда числитель разлагается как $(t-9)(t-27)\text{.}$ Получаем:

$$\frac{(t-9)(t-27)}{t-36}⩾0.$$

Решим методом интервалов на $t>0\text{.}$ Нули числителя: $t=9\text{,}$ $t=27\text{;}$ знаменатель обращается в ноль при $t=36\text{.}$ Расставим знаки на интервалах: (0;9) – проверяем, например, $t=1\text{:}$ $(+)\ast (-)/(-)=(+)/(-)=(-)\text{;}$ (9;27) – $t=10\text{:}$ $(+)\ast (-)/(-)=(-)/(-)=(+)\text{;}$ (27;36) – $t=30\text{:}$ $(-)\ast (-)/(-)=(+)/(-)=(-)\text{;}$ (36; +\infty) – $t=40\text{:}$ $(-)\ast (-)/(+)=(+)/(+)=(+)\text{.}$ Нас интересуют неотрицательные значения. Также включаем точки, где числитель равен нулю (знаменатель не равен нулю): $t=9$ и $t=27\text{.}$ Исключаем $t=36\text{,}$ так как знаменатель обращается в ноль. Таким образом, $t\in [9;27]\cup (36;+\infty )\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$ $3^x=t\text{.}$

1) $9⩽3^x⩽27$ $\Rightarrow$ $3^2⩽3^x⩽3^3$ $\Rightarrow$ $2⩽x⩽3\text{.}$

2) $3^x>36$ $\Rightarrow$ $x>{\log }_{3}36\text{.}$

Ответ: $x\in [2;3]\cup ({\log }_{3}36;+\infty )\text{.}$