Задача №15156

Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны 4. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O\text{,}$ пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN:ND=1:3\text{.}$
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $SC\text{.}$

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC\text{.}$

а) Поскольку плоскость $OMN$ параллельна прямой $SA\text{,}$ а прямая $SA$ лежит в плоскости $ASC\text{,}$ то линия пересечения плоскости $OMN$ с плоскостью $ASC$ — прямая $OM$ — параллельна $SA\text{.}$

В треугольнике $ASC$ точка $O$ — середина стороны $AC$ (центр квадрата $ABCD$). Прямая, проходящая через середину одной стороны и параллельная другой стороне, является средней линией. Следовательно, $OM$ — средняя линия треугольника $ASC\text{,}$ а значит, точка $M$ — середина ребра $SC\text{.}$

б) Пусть плоскость $OMN$ пересекает ребро $AD$ в точке $E\text{,}$ а ребро $BC$ — в точке $K\text{.}$

В плоскости $SAD$ прямая $EN$ — линия пересечения плоскостей $OMN$ и $SAD\text{.}$ Так как $SA\parallel \text{плоскости }OMN\text{,}$ то $EN\parallel SA\text{.}$

Применим теорему о пропорциональных отрезках в угле $D\text{:}$ на сторонах $DS$ и $DA$ параллельные прямые $EN$ и $SA$ отсекают пропорциональные отрезки:

$$\frac{DN}{NS}=\frac{DE}{EA}.$$

Из условия $SN:ND=1:3$ получаем $DN:NS=3:1\text{,}$ следовательно, $DE:EA=3:1\text{.}$

Поскольку $AD=4\text{,}$ то $AE=1\text{,}$ $ED=3\text{.}$

Точка $O$ — центр квадрата $ABCD\text{.}$ Прямая $OE$ лежит в плоскости $OMN$ и в плоскости основания. Она пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ В силу симметрии квадрата относительно центра $O\text{,}$ точка $K$ симметрична $E\text{:}$ $BK=ED=3\text{,}$ $KC=AE=1\text{.}$

Рассмотрим грань $SBC\text{.}$ Все рёбра пирамиды равны $4\text{,}$ поэтому треугольник $SBC$ равносторонний, $\angle SCB=60^{\circ }\text{.}$

Точка $M$ — середина $SC\text{,}$ значит $MC=\frac{1}{2}\cdot 4=2\text{.}$

В треугольнике $MCK$ известны стороны: $MC=2\text{,}$ $CK=1\text{,}$ и угол между ними $\angle MCK=\angle SCB=60^{\circ }\text{.}$

По теореме косинусов:

$$M{K}^2=M{C}^2+C{K}^2-2\cdot MC\cdot CK\cdot \cos 60^{\circ }=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=4+1-2=3.$$

Таким образом, $MK=\sqrt{3}\text{.}$

Ответ: $\sqrt{3}\text{.}$