Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении SN:ND = 1:3. а) Докажите, что точка M — середина ребра SC. б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.

а) Поскольку плоскость OMN параллельна прямой SA, а прямая SA лежит в плоскости ASC, то линия пересечения плоскости OMN с плоскостью ASC — прямая OM — параллельна SA. В треугольнике ASC точка O — середина стороны AC (центр квадрата ABCD). Прямая, проходящая через середину одной стороны и параллельная другой стороне, является средней линией. Следовательно, OM — средняя линия треугольника ASC, а значит, точка M — середина ребра SC. б) Пусть плоскость OMN пересекает ребро AD в точке E, а ребро BC — в точке K. В плоскости SAD прямая EN — линия пересечения плоскостей OMN и SAD. Так как SA плоскости OMN, то EN SA. Применим теорему о пропорциональных отрезках в угле D: на сторонах DS и DA параллельные прямые EN и SA отсекают пропорциональные отрезки: (DN)/(NS) = (DE)/(EA). Из условия SN:ND = 1:3 получаем DN:NS = 3:1, следовательно, DE:EA = 3:1. Поскольку AD = 4, то AE = 1, ED = 3. Точка O — центр квадрата ABCD. Прямая OE лежит в плоскости OMN и в плоскости основания. Она пересекает сторону BC в точке K. В силу симметрии квадрата относительно центра O, точка K симметрична E: BK = ED = 3, KC = AE = 1. Рассмотрим грань SBC. Все рёбра пирамиды равны 4, поэтому треугольник SBC равносторонний, SCB = 60^. Точка M — середина SC, значит MC = (1)/(2)* 4 = 2. В треугольнике MCK известны стороны: MC = 2, CK = 1, и угол между ними MCK = SCB = 60^. По теореме косинусов: MK^2 = MC^2 + CK^2 - 2* MC* CK*cos 60^ = 2^2 + 1^2 - 2* 2* 1*(1)/(2) = 4 + 1 - 2 = 3. Таким образом, MK = sqrt(3). Ответ: sqrt(3).

\(\sqrt{3}\)