Задача №15154

Решите неравенство $x^2{\log }_{243}(4-x)\le {\log }_3\left(x^2-8x+16\right)\text{.}$

1. Область допустимых значений (ОДЗ):

Для существования логарифмов должны выполняться условия:

Таким образом, ОДЗ: $x\in (-\infty ;4)\text{.}$

2. Преобразование неравенства:

Запишем основание первого логарифма как степень тройки:

Выражение под знаком второго логарифма представим в виде квадрата разности:

Так как на ОДЗ выполнено $4-x>0\text{,}$ то:

Подставим полученные выражения в исходное неравенство:

Умножим обе части неравенства на 5:

Перенесем все члены в левую часть и разложим на множители:

3. Решение методом интервалов:

Найдем нули функции $f(x)=(x^2-10){\log }_3(4-x)$ на ОДЗ:

1. $x^2-10=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{10}$
Оба корня $-\sqrt{10}\approx -3,16$ и $\sqrt{10}\approx 3,16$ входят в ОДЗ, так как они меньше 4.

2. ${\log }_3(4-x)=0\Rightarrow 4-x=1\Rightarrow x=3$
Корень $x=3$ также входит в ОДЗ.

Расположим найденные точки на числовой прямой с учетом ОДЗ $x<4\text{.}$ Заметим, что $3=\sqrt{9}<\sqrt{10}<4\text{.}$ Получаем следующие интервалы:

• На интервале $(\sqrt{10};4)\text{:}$ пусть $x=3,5\text{.}$ Тогда $x^2-10=12,25-10>0\text{,}$ а ${\log }_3(4-3,5)={\log }_{3}0,5<0\text{.}$ Знак произведения: $-\text{.}$
• На интервале $(3;\sqrt{10})\text{:}$ пусть $x=3,1\text{.}$ Тогда $x^2-10=9,61-10<0\text{,}$ а ${\log }_3(4-3,1)={\log }_{3}0,9<0\text{.}$ Знак произведения: $+\text{.}$
• На интервале $(-\sqrt{10};3)\text{:}$ пусть $x=0\text{.}$ Тогда $x^2-10=-10<0\text{,}$ а ${\log }_3(4-0)={\log }_{3}4>0\text{.}$ Знак произведения: $-\text{.}$
• На интервале $(-\infty ;-\sqrt{10})\text{:}$ пусть $x=-4\text{.}$ Тогда $x^2-10=16-10>0\text{,}$ а ${\log }_3(4-(-4))={\log }_{3}8>0\text{.}$ Знак произведения: $+\text{.}$

Нам нужно решить неравенство $f(x)\le 0\text{.}$ С учетом ОДЗ, решением неравенства являются промежутки: