Решите неравенство x^2 _(243)(4-x) <= _3(x^2 - 8x + 16) .

**1. Область допустимых значений (ОДЗ):** Для существования логарифмов должны выполняться условия: cases 4 - x > 0 x^2 - 8x + 16 > 0 cases => cases x < 4 (x - 4)^2 > 0 cases => cases x < 4 x != 4 cases => x < 4 Таким образом, ОДЗ: x in (-inf; 4) . **2. Преобразование неравенства:** Запишем основание первого логарифма как степень тройки: 243 = 3^5 => _(243)(4 - x) = _(3^5)(4 - x) = (1)/(5) _3(4 - x) Выражение под знаком второго логарифма представим в виде квадрата разности: x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 = (4 - x)^2 Так как на ОДЗ выполнено 4 - x > 0 , то: _3(x^2 - 8x + 16) = _3(4 - x)^2 = 2_3(4 - x) Подставим полученные выражения в исходное неравенство: x^2 * (1)/(5) _3(4 - x) <= 2_3(4 - x) Умножим обе части неравенства на 5: x^2 _3(4 - x) <= 10_3(4 - x) Перенесем все члены в левую часть и разложим на множители: x^2 _3(4 - x) - 10_3(4 - x) <= 0 (x^2 - 10) _3(4 - x) <= 0 **3. Решение методом интервалов:** Найдем нули функции f(x) = (x^2 - 10) _3(4 - x) на ОДЗ: 1. x^2 - 10 = 0 => x = +-sqrt(10) Оба корня -sqrt(10) ~ -3,16 и sqrt(10) ~ 3,16 входят в ОДЗ, так как они меньше 4. 2. _3(4 - x) = 0 => 4 - x = 1 => x = 3 Корень x = 3 также входит в ОДЗ. Расположим найденные точки на числовой прямой с учетом ОДЗ x < 4 . Заметим, что 3 = sqrt(9) < sqrt(10) < 4 . Получаем следующие интервалы: - На интервале (sqrt(10); 4) : пусть x = 3,5 . Тогда x^2 - 10 = 12,25 - 10 > 0 , а _3(4 - 3,5) = _3 0,5 < 0 . Знак произведения: - . - На интервале (3; sqrt(10)) : пусть x = 3,1 . Тогда x^2 - 10 = 9,61 - 10 < 0 , а _3(4 - 3,1) = _3 0,9 < 0 . Знак произведения: + . - На интервале (-sqrt(10); 3) : пусть x = 0 . Тогда x^2 - 10 = -10 < 0 , а _3(4 - 0) = _3 4 > 0 . Знак произведения: - . - На интервале (-inf; -sqrt(10)) : пусть x = -4 . Тогда x^2 - 10 = 16 - 10 > 0 , а _3(4 - (-4)) = _3 8 > 0 . Знак произведения: + . Нам нужно решить неравенство f(x) <= 0 . С учетом ОДЗ, решением неравенства являются промежутки: x in [-sqrt(10); 3] U [sqrt(10); 4)

\( [-\sqrt{10};\, 3] \cup [\sqrt{10};\, 4) \)