В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C , а на окружности другого основания — точка C_1 , причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ACB = 45^ , AB = 2sqrt(3) , CC_1 = 2sqrt(6) . а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^ . б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC_1 .
а) В цилиндре образующая перпендикулярна основанию, поэтому CC_1 плоскости основания, и CC_1 AC , CC_1 BC . В треугольнике ABC , вписанном в окружность с диаметром AC , угол ABC = 90^ . Дано ACB = 45^ , поэтому BAC = 45^ , и треугольник равнобедренный прямоугольный: AB = BC = 2sqrt(3) . По теореме Пифагора: AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt((23)^2 + (23)^2) = sqrt(12 + 12) = sqrt(24) = 2sqrt(6) . Радиус основания R = (AC)/(2) = sqrt(6) . Высота цилиндра h = CC_1 = 2sqrt(6) . В прямоугольном треугольнике ACC_1 (с прямым углом при C ): AC_1 = sqrt(AC^2 + CC_1^2) = sqrt((26)^2 + (26)^2) = sqrt(24 + 24) = sqrt(48) = 4sqrt(3) . Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми AC_1 и BC перенесём BC параллельно в точку A : получим отрезок AD такой, что AD BC и AD = BC = 2sqrt(3) . Тогда угол между AC_1 и BC равен углу между AC_1 и AD , то есть углу C_1AD в треугольнике AC_1D . Найдём длину C_1D . Точка D лежит в нижнем основании. В треугольнике ACD известны: AC = 2sqrt(6) , AD = 2sqrt(3) , и угол между ними равен CAD = ACB = 45^ (так как AD BC ). По теореме косинусов: CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 * AC * AD * cos 45^ = 24 + 12 - 2 * 2sqrt(6) * 2sqrt(3) * (sqrt(2))/(2) = 36 - 24 = 12, откуда CD = 2sqrt(3) . Поскольку CC_1 основанию, проекция C_1 на основание — точка C , поэтому C_1D^2 = CD^2 + CC_1^2 = (2sqrt(3))^2 + (2sqrt(6))^2 = 12 + 24 = 36 , значит C_1D = 6 . В треугольнике AC_1D известны стороны: AC_1 = 4sqrt(3) , AD = 2sqrt(3) , C_1D = 6 . По теореме косинусов для угла при A : cos C_1AD = (AC_1^2 + AD^2 - C_1D^2)/(2 * AC_1 * AD) = (48 + 12 - 36)/(2 * 4sqrt(3) * 2sqrt(3)) = (24)/(48) = (1)/(2), следовательно, C_1AD = 60^ . Так как AD BC , угол между прямыми AC_1 и BC равен 60^ . б) Рассмотрим треугольник ABC_1 . В нём известны стороны: AB = 2sqrt(3) , AC_1 = 4sqrt(3) , BC_1 = sqrt(BC^2 + CC_1^2) = sqrt((23)^2 + (26)^2) = sqrt(12 + 24) = 6 . Найдём площадь треугольника ABC_1 по формуле Герона. Полупериметр: p = (AB + AC_1 + BC_1)/(2) = (2sqrt(3) + 4sqrt(3) + 6)/(2) = (6sqrt(3) + 6)/(2) = 3sqrt(3) + 3. Тогда: S = sqrt(p(p - AB)(p - AC_1)(p - BC_1)) = sqrt((33 + 3)(33 + 3 - 23)(33 + 3 - 43)(33 + 3 - 6)). Упростим: p - AB = 3sqrt(3) + 3 - 2sqrt(3) = sqrt(3) + 3, p - AC_1 = 3sqrt(3) + 3 - 4sqrt(3) = 3 - sqrt(3), p - BC_1 = 3sqrt(3) + 3 - 6 = 3sqrt(3) - 3. Заметим, что sqrt(3) + 3 = sqrt(3)(1 + sqrt(3)) , 3 - sqrt(3) = sqrt(3)(sqrt(3) - 1) , 3sqrt(3) - 3 = 3(sqrt(3) - 1) , и p = 3(sqrt(3) + 1) . Подставим: S = sqrt(3(3 + 1) * 3(1 + 3) * 3(3 - 1) * 3(3 - 1)) = sqrt(9 * 3 * [(3 + 1)(3 - 1)]^2) = sqrt(27 * (3 - 1)^2) = sqrt(108) = 6sqrt(3). Расстояние от точки B до прямой AC_1 — это высота треугольника ABC_1 , опущенная из B на сторону AC_1 . Если сторона AC_1 взята за основание, то высота: d = (2S)/(AC_1) = (2 * 6sqrt(3))/(4sqrt(3)) = 3. Ответ: 3.
3