Решите неравенство ( _(0,25)^2 (x + 3) - _4 (x^2 + 6x + 9) + 1) *_4 (x + 2) 0.

Найдём ОДЗ: cases x+3 > 0, x^2 + 6x + 9 > 0, x+2 > 0. cases Решим каждое неравенство: - x+3 > 0 ⇒ x > -3 . - x^2 + 6x + 9 > 0 ⇒ (x+3)^2 > 0 ⇒ x!= -3 . - x+2 > 0 ⇒ x > -2 . Пересекая условия, получаем ОДЗ: x > -2 . Преобразуем неравенство. Заметим, что: _(0,25)(x+3) = _(4^(-1))(x+3) = -_4(x+3). Следовательно, _(0,25)^2(x+3) = (-_4(x+3))^2 = _4^2(x+3). Также, _4(x^2+6x+9) = _4((x+3)^2) = 2_4|x+3|. На ОДЗ x > -2 , поэтому x+3 > 1 > 0 , значит |x+3| = x+3 и _4(x^2+6x+9) = 2_4(x+3). Обозначим t = _4(x+3) . Тогда исходное неравенство принимает вид: (t^2 - 2t + 1) *_4(x+2) 0<=> (t-1)^2*_4(x+2) 0. Так как (t-1)^2 0 , неравенство выполнено в следующих случаях: 1. _4(x+2) < 0 . 2. (t-1)^2 = 0 . 3. _4(x+2) = 0 (тогда произведение равно 0 независимо от t ). Рассмотрим каждый случай. Случай 1: _4(x+2) < 0 . _4(x+2) < 0<=> 0 < x+2 < 1<=> -2 < x < -1. В силу ОДЗ x > -2 , получаем xin (-2, -1) . Случай 2: (t-1)^2 = 0 , то есть t = 1 . t = 1=>_4(x+3) = 1=> x+3 = 4=> x = 1. При x=1 имеем _4(x+2) = _4 3 > 0 , поэтому произведение равно 0. Также x=1 входит в ОДЗ. Следовательно, x=1 — решение. Случай 3: _4(x+2) = 0 . _4(x+2) = 0=> x+2 = 1=> x = -1. При x=-1 произведение равно 0 для любого t , так что неравенство выполнено. Проверим ОДЗ: x=-1 > -2 , значит x=-1 подходит. Объединяя решения из всех случаев, получаем: - Из случая 1: xin (-2, -1) . - Из случая 2: x = 1 . - Из случая 3: x = -1 . Таким образом, решением неравенства является множество xin (-2, -1] U 1 . Проверим по ОДЗ: все найденные значения удовлетворяют x > -2 . Ответ: xin (-2, -1] U 1 .

\((-2,-1]\cup{1}\)