Задача №15151

Решите неравенство $\left({\log }_{0,25}^2(x+3)-{\log }_4(x^2+6x+9)+1\right)\cdot {\log }_4(x+2)⩽0\text{.}$

Найдём ОДЗ:

Решим каждое неравенство:

• $x+3>0$ ⇒ $x>-3\text{.}$
• $x^2+6x+9>0$ ⇒ $(x+3{)}^2>0$ ⇒ $x\ne -3\text{.}$
• $x+2>0$ ⇒ $x>-2\text{.}$

Пересекая условия, получаем ОДЗ: $x>-2\text{.}$

Преобразуем неравенство. Заметим, что:

Следовательно,

Также,

На ОДЗ $x>-2\text{,}$ поэтому $x+3>1>0\text{,}$ значит $|x+3|=x+3$ и

Обозначим $t={\log }_4(x+3)\text{.}$ Тогда исходное неравенство принимает вид:

Так как $(t-1{)}^2⩾0\text{,}$ неравенство выполнено в следующих случаях:

1. ${\log }_4(x+2)<0\text{.}$
2. $(t-1{)}^2=0\text{.}$
3. ${\log }_4(x+2)=0$ (тогда произведение равно 0 независимо от $t$).

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: ${\log }_4(x+2)<0\text{.}$

В силу ОДЗ $x>-2\text{,}$ получаем $x\in (-2,-1)\text{.}$

Случай 2: $(t-1{)}^2=0\text{,}$ то есть $t=1\text{.}$

При $x=1$ имеем ${\log }_4(x+2)={\log }_{4}3>0\text{,}$ поэтому произведение равно 0. Также $x=1$ входит в ОДЗ. Следовательно, $x=1$ — решение.

Случай 3: ${\log }_4(x+2)=0\text{.}$

При $x=-1$ произведение равно 0 для любого $t\text{,}$ так что неравенство выполнено. Проверим ОДЗ: $x=-1>-2\text{,}$ значит $x=-1$ подходит.

Объединяя решения из всех случаев, получаем:

• Из случая 1: $x\in (-2,-1)\text{.}$
• Из случая 2: $x=1\text{.}$
• Из случая 3: $x=-1\text{.}$

Таким образом, решением неравенства является множество $x\in (-2,-1]\cup \{1\}\text{.}$

Проверим по ОДЗ: все найденные значения удовлетворяют $x>-2\text{.}$

Ответ: $x\in (-2,-1]\cup \{1\}\text{.}$