В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит параллелограмм ABCD с углом 60^ при вершине A . На рёбрах A_1B_1 , B_1C_1 и BC отмечены точки M , K и N соответственно так, что четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2. а) Докажите, что точка M — середина ребра A_1B_1 . б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка K делит ребро B_1C_1 в отношении B_1K : KC_1 = 2 : 3 .

а) Пусть AB = a , AD = b , а высота призмы равна h . Введём векторы AB = a , AD = b и AA_1 = c . Поскольку призма прямая, вектор c перпендикулярен векторам a и b . Точка M лежит на A_1B_1 , значит, A_1M = xA_1B_1 = xa , где 0 < x < 1 . Тогда AM = c + xa . Точка N лежит на BC , значит, BN = zBC = zb , где 0 < z < 1 . Тогда AN = a + zb . Точка K лежит на B_1C_1 , значит, B_1K = yB_1C_1 = yb , где 0 < y < 1 . Тогда AK = a + c + yb . Найдём вектор MK = AK - AM = (1 - x)a + yb . По условию AMKN — трапеция. Основания трапеции AN и MK лежат в параллельных плоскостях оснований призмы, следовательно, они параллельны: AN MK . Это означает, что векторы MK и AN коллинеарны: (1 - x)a + yb = k(a + zb) . Так как векторы a и b не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть пропорциональны: 1 - x = k, y = kz => y = (1 - x)z. Так как 0 < x < 1 , то k < 1 , значит, MK < AN . По условию основания равны 1 и 2, поэтому k = (1)/(2) . Трапеция равнобедренная, значит, AM = NK . Найдём квадраты длин векторов: AM^2 = |c + xa|^2 = h^2 + x^2 a^2 (так как c a) NK = AK - AN = c + (y - z)b NK^2 = h^2 + (y - z)^2 b^2 (так как c b) Отсюда x^2 a^2 = (z - y)^2 b^2 . Учитывая y = (1 - x)z , имеем z - y = xz . x^2 a^2 = x^2 z^2 b^2 => a = zb. Найдём длину AN по теореме косинусов для ABN (где B = 120^ ): AN^2 = a^2 + (zb)^2 - 2a(zb) cos 120^ = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2. Так как AN = 2 , то 3a^2 = 4 => a = (2)/(sqrt(3)) . Так как k = 1 - x = (1)/(2) , получаем x = (1)/(2) . Точка M — середина A_1B_1 . б) Из отношения B_1K : KC_1 = 2 : 3 следует y = (2)/(5) . Так как y = (1 - x)z и x = (1)/(2) , то (2)/(5) = (1)/(2) z => z = (4)/(5) . Тогда b = (a)/(z) = (2)/(sqrt(3)) * (5)/(4) = (5)/(2sqrt(3)) . Площадь основания призмы (параллелограмма): S = a * b * sin 60^ = (2)/(sqrt(3)) * (5)/(2sqrt(3)) * (sqrt(3))/(2) = (5sqrt(3))/(6). Объём V = S * h = 5 , откуда: h = (5)/(S) = (5 * 6)/(5sqrt(3)) = (6)/(sqrt(3)) = 2sqrt(3). Ответ: 2sqrt(3)

а) Доказано б) \( 2\sqrt{3} \)