Задача №15150

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD$ с углом $60^{\circ }$ при вершине $A\text{.}$ На рёбрах $A_1{B}_1\text{,}$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены точки $M\text{,}$ $K$ и $N$ соответственно так, что четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 1 и 2.

а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $A_1{B}_1\text{.}$
б) Найдите высоту призмы, если её объём равен 5 и известно, что точка $K$ делит ребро $B_1{C}_1$ в отношении $B_{1}K:K{C}_1=2:3\text{.}$

а) Пусть $AB=a\text{,}$ $AD=b\text{,}$ а высота призмы равна $h\text{.}$ Введём векторы $\overrightarrow{AB}=\vec{a}\text{,}$ $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$ и $\overrightarrow{A{A}_1}=\vec{c}\text{.}$ Поскольку призма прямая, вектор $\vec{c}$ перпендикулярен векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}\text{.}$

Точка $M$ лежит на $A_1{B}_1\text{,}$ значит, $\overrightarrow{A_{1}M}=x\overrightarrow{A_1{B}_1}=x\vec{a}\text{,}$ где $0<x<1\text{.}$ Тогда $\overrightarrow{AM}=\vec{c}+x\vec{a}\text{.}$

Точка $N$ лежит на $BC\text{,}$ значит, $\overrightarrow{BN}=z\overrightarrow{BC}=z\vec{b}\text{,}$ где $0<z<1\text{.}$ Тогда $\overrightarrow{AN}=\vec{a}+z\vec{b}\text{.}$

Точка $K$ лежит на $B_1{C}_1\text{,}$ значит, $\overrightarrow{B_{1}K}=y\overrightarrow{B_1{C}_1}=y\vec{b}\text{,}$ где $0<y<1\text{.}$ Тогда $\overrightarrow{AK}=\vec{a}+\vec{c}+y\vec{b}\text{.}$

Найдём вектор $\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AM}=(1-x)\vec{a}+y\vec{b}\text{.}$

По условию $AMKN$ — трапеция. Основания трапеции $AN$ и $MK$ лежат в параллельных плоскостях оснований призмы, следовательно, они параллельны: $AN\parallel MK\text{.}$

Это означает, что векторы $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{AN}$ коллинеарны: $(1-x)\vec{a}+y\vec{b}=k(\vec{a}+z\vec{b})\text{.}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, коэффициенты при них должны быть пропорциональны:

$$1-x=k,y=kz\Rightarrow y=(1-x)z.$$

Так как $0<x<1\text{,}$ то $k<1\text{,}$ значит, $MK<AN\text{.}$ По условию основания равны 1 и 2, поэтому $k=\frac{1}{2}\text{.}$

Трапеция равнобедренная, значит, $AM=NK\text{.}$ Найдём квадраты длин векторов:

$$A{M}^2=|\vec{c}+x\vec{a}{|}^2=h^2+x^2{a}^2(\text{так как }\vec{c}\perp \vec{a})$$ $$\overrightarrow{NK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AN}=\vec{c}+(y-z)\vec{b}$$ $$N{K}^2=h^2+(y-z{)}^2{b}^2(\text{так как }\vec{c}\perp \vec{b})$$

Отсюда $x^2{a}^2=(z-y{)}^2{b}^2\text{.}$ Учитывая $y=(1-x)z\text{,}$ имеем $z-y=xz\text{.}$

$$x^2{a}^2=x^2{z}^2{b}^2\Rightarrow a=zb.$$

Найдём длину $AN$ по теореме косинусов для $△ABN$ (где $\angle B=120^{\circ }$):

$$A{N}^2=a^2+(zb{)}^2-2a(zb)\cos 120^{\circ }=a^2+a^2+a^2=3a^2.$$

Так как $AN=2\text{,}$ то $3a^2=4\Rightarrow a=\frac{2}{\sqrt{3}}\text{.}$

Так как $k=1-x=\frac{1}{2}\text{,}$ получаем $x=\frac{1}{2}\text{.}$ Точка $M$ — середина $A_1{B}_1\text{.}$

б) Из отношения $B_{1}K:K{C}_1=2:3$ следует $y=\frac{2}{5}\text{.}$

Так как $y=(1-x)z$ и $x=\frac{1}{2}\text{,}$ то $\frac{2}{5}=\frac{1}{2}z\Rightarrow z=\frac{4}{5}\text{.}$

Тогда $b=\frac{a}{z}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{5}{4}=\frac{5}{2\sqrt{3}}\text{.}$

Площадь основания призмы (параллелограмма):

$$S=a\cdot b\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{5}{2\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{6}.$$

Объём $V=S\cdot h=5\text{,}$ откуда:

$$h=\frac{5}{S}=\frac{5\cdot 6}{5\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.$$

Ответ: $2\sqrt{3}$