Решите неравенство _2^2(25-x^2)-7_2(25-x^2)+12 0.

Задача №15149: Неравенства

Сделаем замену: $t = lo g_{2} (25 - x^{2}) .$ Тогда неравенство принимает вид:

t^{2} - 7 t + 12 ⩾ 0.

Решаем квадратное неравенство:

(t - 3) (t - 4) ⩾ 0 \Rightarrow t ⩽ 3 или t ⩾ 4.

Вернёмся к исходной переменной. Найдём ОДЗ:

25 - x^{2} > 0 \Rightarrow x^{2} < 25 \Rightarrow - 5 < x < 5.

1) $t ⩽ 3 :$

lo g_{2} (25 - x^{2}) ⩽ 3 \Rightarrow 25 - x^{2} ⩽ 2^{3} = 8 \Rightarrow x^{2} ⩾ 17 \Rightarrow x ⩽ - 17 или x ⩾ 17 .

Учитывая ОДЗ, получаем: $x \in (- 5, - 17] \cup [17, 5) .$

2) $t ⩾ 4 :$

lo g_{2} (25 - x^{2}) ⩾ 4 \Rightarrow 25 - x^{2} ⩾ 2^{4} = 16 \Rightarrow x^{2} ⩽ 9 \Rightarrow - 3 ⩽ x ⩽ 3.

Учитывая ОДЗ, получаем: $x \in [- 3, 3] .$

Объединяем решения: $x \in (- 5, - 17] \cup [- 3, 3] \cup [17, 5) .$

Ответ: $x \in (- 5, - 17] \cup [- 3, 3] \cup [17, 5) .$