Задача №15148

В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ равными 8 и 3 соответственно. Точки $M$ и $N$ лежат на рёбрах $SD$ и $BC$ соответственно, причём $SM:MD=3:2\text{,}$ $BN:NC=1:2\text{.}$ Плоскость $AMN$ пересекает ребро $SC$ в точке $K\text{.}$
а) Докажите, что $SK:KC=6:1\text{.}$
б) Плоскость $AMN$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

а) Докажем, что $SK:KC=6:1\text{.}$ Продолжим $AN$ и $DC$ до пересечения в точке $T\text{.}$ Так как $AD\parallel BC\text{,}$ треугольники $TNC$ и $TAD$ подобны. Следовательно,

По условию $BN:NC=1:2\text{,}$ $BC=3\text{,}$ поэтому $NC=2\text{,}$ $AD=8\text{.}$ Значит,

откуда $\frac{DT}{TC}=4\text{.}$

Рассмотрим треугольник $SCD\text{.}$ На стороне $SD$ взята точка $M$ ($SM:MD=3:2$), на стороне $CD$ взята точка $T$ (на продолжении). Прямая $MT$ пересекает сторону $SC$ в точке $K\text{.}$ По теореме Менелая для треугольника $SCD$ и прямой $MTK\text{:}$

Подставляем известные отношения:

б) Найдём отношение объёмов многогранников. Обозначим объём пирамиды $SABCD$ через $V\text{.}$ Плоскость $AMN$ делит её на два многогранника: один содержит вершину $S$ (верхний), другой — основание $ABCD$ (нижний).

Из пункта а) известно: $SK:SC=6:7$ (так как $SK:KC=6:1\text{,}$ значит $SK$ составляет 6 частей из 7). Также $SM:SD=3:5$ (так как $SM:MD=3:2\text{,}$ значит $SM$ составляет 3 части из 5). Плоскость проходит через точку $A$ на ребре $SA\text{,}$ поэтому можно считать, что на ребре $SA$ отношение $\frac{SA}{SA}=1\text{.}$ Ребро $SB$ плоскость не пересекает внутри отрезка, поэтому его вклад в отношение объёмов равен 1.

Для пирамиды с вершиной $S\text{,}$ если плоскость пересекает рёбра $SA\text{,}$ $SB\text{,}$ $SC\text{,}$ $SD$ в точках, делящих их в отношениях $\alpha \text{,}$ $\beta \text{,}$ $\gamma \text{,}$ $\delta$ (считая от $S$), то объём отсечённой части (содержащей $S$) относится к объёму всей пирамиды как $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma \cdot \delta \text{.}$ В нашем случае: $\alpha =1$ (на $SA$), $\beta =1$ (на $SB$), $\gamma =\frac{6}{7}$ (на $SC$), $\delta =\frac{3}{5}$ (на $SD$). Следовательно,

Тогда

Искомое отношение объёмов верхнего многогранника к нижнему:

Ответ: 18 : 17