В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями AD и BC , равными 8 и 3 соответственно. Точки M и N лежат на рёбрах SD и BC соответственно, причём SM:MD = 3:2 , BN:NC = 1:2 . Плоскость AMN пересекает ребро SC в точке K . а) Докажите, что SK:KC = 6:1 . б) Плоскость AMN делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов.

а) Докажем, что SK:KC = 6:1 . Продолжим AN и DC до пересечения в точке T . Так как AD BC , треугольники TNC и TAD подобны. Следовательно, (TC)/(TD) = (NC)/(AD) По условию BN:NC = 1:2 , BC = 3 , поэтому NC = 2 , AD = 8 . Значит, (TC)/(TD) = (2)/(8) = (1)/(4) откуда (DT)/(TC) = 4 . Рассмотрим треугольник SCD . На стороне SD взята точка M ( SM:MD = 3:2 ), на стороне CD взята точка T (на продолжении). Прямая MT пересекает сторону SC в точке K . По теореме Менелая для треугольника SCD и прямой MTK : (SM)/(MD) * (DT)/(TC) * (CK)/(KS) = 1 Подставляем известные отношения: (3)/(2) * 4 * (CK)/(KS) = 1 => 6 * (CK)/(KS) = 1 => (CK)/(KS) = (1)/(6) => (KS)/(CK) = 6 => SK:KC = 6:1 б) Найдём отношение объёмов многогранников. Обозначим объём пирамиды SABCD через V . Плоскость AMN делит её на два многогранника: один содержит вершину S (верхний), другой — основание ABCD (нижний). Из пункта а) известно: SK:SC = 6:7 (так как SK:KC = 6:1 , значит SK составляет 6 частей из 7). Также SM:SD = 3:5 (так как SM:MD = 3:2 , значит SM составляет 3 части из 5). Плоскость проходит через точку A на ребре SA , поэтому можно считать, что на ребре SA отношение (SA)/(SA) = 1 . Ребро SB плоскость не пересекает внутри отрезка, поэтому его вклад в отношение объёмов равен 1. Для пирамиды с вершиной S , если плоскость пересекает рёбра SA , SB , SC , SD в точках, делящих их в отношениях alpha , beta , gamma , (считая от S ), то объём отсечённой части (содержащей S ) относится к объёму всей пирамиды как alpha * beta * gamma * . В нашем случае: alpha = 1 (на SA ), beta = 1 (на SB ), gamma = (6)/(7) (на SC ), = (3)/(5) (на SD ). Следовательно, (V_(верх))/(V) = 1 * 1 * (6)/(7) * (3)/(5) = (18)/(35) Тогда V_(ниж) = V - V_(верх) = ( 1 - (18)/(35) ) V = (17)/(35) V Искомое отношение объёмов верхнего многогранника к нижнему: V_(верх) : V_(ниж) = (18)/(35) : (17)/(35) = 18 : 17 Ответ: 18 : 17

18:17