Задача №15147

В кубе $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $B_{1}N$ и $CM$ перпендикулярны.

б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM\text{.}$ Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha \text{,}$ если $B_{1}N=6\text{.}$

а) Введём прямоугольную систему координат: $A(0,0,0)\text{,}$ оси направим вдоль $AB,AD,A{A}_1\text{.}$ Пусть ребро куба равно $a\text{.}$ Тогда

$B(a,0,0)\text{,}$ $D(0,a,0)\text{,}$ $C(a,a,0)\text{,}$ $B_1(a,0,a)\text{,}$ $M\left(\frac{a}{2},0,0\right)\text{,}$ $N\left(0,\frac{a}{2},0\right)\text{.}$

Тогда

$$\overrightarrow{B_{1}N}=\left(-a,\frac{a}{2},-a\right),\overrightarrow{CM}=\left(\frac{a}{2}-a,0-a,0\right)=\left(-\frac{a}{2},-a,0\right).$$

Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{B_{1}N}\cdot \overrightarrow{CM}=(-a)\left(-\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{a}{2}\right)(-a)+(-a)\cdot 0=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0.$$

Значит, $B_{1}N\perp CM\text{.}$

б) Длина $B_{1}N\text{:}$

$$B_{1}N=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{4}}=\frac{3a}{2}.$$

По условию $\frac{3a}{2}=6\Rightarrow a=4\text{.}$

Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B_1$ и $N$ и параллельна прямой $CM\text{.}$ Поэтому в плоскости $\alpha$ лежат две непараллельные направляющие:

• $\overrightarrow{B_{1}N}$ (так как $B_1\in \alpha$ и $N\in \alpha$);

• вектор, параллельный $CM\text{,}$ то есть $\overrightarrow{CM}\text{.}$

При $a=4\text{:}$

$$\overrightarrow{B_{1}N}=(-4,2,-4),\overrightarrow{CM}=(-2,-4,0).$$

Пусть $\mathbf{n}=(p,q,r)$ — нормальный вектор плоскости $\alpha \text{.}$ Тогда

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{CM}=0,\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{B_{1}N}=0.\end{array}$$

То есть

$$\{\begin{array}{l}-2p-4q=0,\\ -4p+2q-4r=0.\end{array}\Rightarrow p=-2q,$$ $$-4(-2q)+2q-4r=0\Rightarrow 10q=4r\Rightarrow r=\frac{5}{2}q.$$

Берём, например, $q=2\text{,}$ тогда $p=-4\text{,}$ $r=5\text{.}$ Можно умножить на $-1$ и взять $\mathbf{n}=(4,-2,-5)\text{.}$

Уравнение плоскости через точку $N(0,2,0)\text{:}$

$$4(x-0)-2(y-2)-5(z-0)=0\Rightarrow 4x-2y-5z+4=0.$$

Расстояние от $C(4,4,0)$ до $\alpha \text{:}$

$$d=\frac{|4\cdot 4-2\cdot 4-5\cdot 0+4|}{\sqrt{4^2+(-2{)}^2+(-5{)}^2}}=\frac{|12|}{\sqrt{45}}=\frac{12}{3\sqrt{5}}=\frac{4}{\sqrt{5}}.$$

Ответ:

а) $B_{1}N\perp CM$

б) $\frac{4}{\sqrt{5}}$