В кубе ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 точки M и N — середины рёбер AB и AD соответственно. а) Докажите, что прямые B_1 N и CM перпендикулярны. б) Плоскость alpha проходит через точки N и B_1 параллельно прямой CM . Найдите расстояние от точки C до плоскости alpha , если B_1 N = 6 .

а) Введём прямоугольную систему координат: A(0,0,0), оси направим вдоль AB,AD,AA_1. Пусть ребро куба равно a. Тогда B(a,0,0), D(0,a,0), C(a,a,0), B_1(a,0,a), M((a)/(2),0,0), N(0,(a)/(2),0). Тогда B_1N=(-a,(a)/(2),-a), CM=((a)/(2)-a,0-a,0)=(-(a)/(2),-a,0). Скалярное произведение: B_1N*CM=(-a)(-(a)/(2))+((a)/(2))(-a)+(-a)* 0=(a^2)/(2)-(a^2)/(2)=0. Значит, B_1N CM. б) Длина B_1N: B_1N=sqrt(a^2+((a)/(2))^2+a^2)=sqrt((9a^2)/(4))=(3a)/(2). По условию (3a)/(2)=6=> a=4. Плоскость alpha проходит через точки B_1 и N и параллельна прямой CM. Поэтому в плоскости alpha лежат две непараллельные направляющие: - B_1N (так как B_1 и N); - вектор, параллельный CM, то есть CM. При a=4: B_1N=(-4,2,-4), CM=(-2,-4,0). Пусть n=(p,q,r) — нормальный вектор плоскости alpha. Тогда cases n*CM=0, n*B_1N=0. cases То есть cases -2p-4q=0, -4p+2q-4r=0. cases => p=-2q, -4(-2q)+2q-4r=0=> 10q=4r=> r=(5)/(2)q. Берём, например, q=2, тогда p=-4, r=5. Можно умножить на -1 и взять n=(4,-2,-5). Уравнение плоскости через точку N(0,2,0): 4(x-0)-2(y-2)-5(z-0)=0=> 4x-2y-5z+4=0. Расстояние от C(4,4,0) до alpha: d=(|4* 4-2* 4-5* 0+4|)/(sqrt(4^2+(-2)^2+(-5)^2)) =(|12|)/(sqrt(45))=(12)/(3sqrt(5))=(4)/(sqrt(5)). Ответ: а) B_1N CM б) (4)/(sqrt(5))

а) доказано б) \( \dfrac{4}{\sqrt{5}} \)