Найдите точку минимума функции y = 3x - 3*ln(x - 7) - 8.

Задача №15145: Производная и первообразная

Найдем производную заданной функции. Область определения: $x > 7 .$

y^{'} = 3 - \frac{3}{x - 7} = \frac{3 ( x - 7 ) - 3}{x - 7} = \frac{3 x - 21 - 3}{x - 7} = \frac{3 x - 24}{x - 7} = \frac{3 ( x - 8 )}{x - 7}

Производная определена при $x > 7 .$ Найдем нули производной: $x = 8 .$

Определим знаки производной на интервалах $(7; 8)$ и $(8; + \infty) .$

При $x = 7.5 :$ $y^{'} (7.5) = \frac{3 ( 7.5 - 8 )}{7.5 - 7} = \frac{3 \cdot ( - 0.5 )}{0.5} = - 3 < 0 .$

При $x = 9 :$ $y^{'} (9) = \frac{3 ( 9 - 8 )}{9 - 7} = \frac{3}{2} > 0 .$

Значит, производная меняет знак с "-" на "+" в точке $x = 8 .$ Следовательно, $x = 8$ – точка минимума.

Ответ: $x = 8$