а) Решите уравнение sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) + 2sin^2 x = sin x + 2 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2pi; (7pi)/(2)] .

Упростим левую часть уравнения: sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) = sqrt(2)( sin xcos(pi)/(4) + cos xsin(pi)/(4)) = sqrt(2)( sin x*(sqrt(2))/(2) + cos x*(sqrt(2))/(2)) = sin x + cos x. Подставим в уравнение: sin x + cos x + 2sin^2 x = sin x + 2 . Вычтем sin x: cos x + 2sin^2 x = 2 . Заменим sin^2 x = 1 - cos^2 x: cos x + 2(1 - cos^2 x) = 2=>cos x + 2 - 2cos^2 x = 2=>cos x - 2cos^2 x = 0. Выносим общий множитель: cos x (1 - 2cos x) = 0 . Получаем два случая: 1. cos x = 0=> x = (pi)/(2) + pi n, nin Z. 2. 1 - 2cos x = 0=>cos x = (1)/(2)=> x = +-(pi)/(3) + 2pi k, kin Z. Для б) найдём корни на отрезке [2pi; (7pi)/(2)]: Для x = (pi)/(2) + pi n: подходят n = 2, 3, что даёт x = (5pi)/(2), (7pi)/(2). Для x = (pi)/(3) + 2pi k: подходит k = 1, что даёт x = (7pi)/(3). Для x = -(pi)/(3) + 2pi k: корни на отрезке отсутствуют. Ответ: а) x = (pi)/(2) + pi n, nin Z; x = +-(pi)/(3) + 2pi k, kin Z б) x = (5pi)/(2), x = (7pi)/(2), x = (7pi)/(3)

\(\text{а) }\dfrac{\pi}{2} + \pi n, n\in \mathbb{Z};\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}\) \(\text{б) }\dfrac{5\pi}{2}; \dfrac{7\pi}{2}; \dfrac{7\pi}{3}.\)