Задача №15144

а) Решите уравнение
$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+2{\sin }^{2}x=\sin x+2\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим левую часть уравнения:

$$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x.$$

Подставим в уравнение:

$\sin x+\cos x+2{\sin }^{2}x=\sin x+2\text{.}$

Вычтем $\sin x\text{:}$

$\cos x+2{\sin }^{2}x=2\text{.}$

Заменим ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x\text{:}$

$$\cos x+2(1-{\cos }^{2}x)=2\Rightarrow \cos x+2-2{\cos }^{2}x=2\Rightarrow \cos x-2{\cos }^{2}x=0.$$

Выносим общий множитель:

$\cos x(1-2\cos x)=0\text{.}$

Получаем два случая:

1. $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$
2. $1-2\cos x=0\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Для

б) найдём корни на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{:}$

Для $x=\frac{\pi }{2}+\pi n\text{:}$ подходят $n=2,3\text{,}$ что даёт $x=\frac{5\pi }{2},\frac{7\pi }{2}\text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ подходит $k=1\text{,}$ что даёт $x=\frac{7\pi }{3}\text{.}$

Для $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ корни на отрезке отсутствуют.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z};x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $x=\frac{5\pi }{2},x=\frac{7\pi }{2},x=\frac{7\pi }{3}$