Задача №15143

а) Решите уравнение

$$2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]\text{.}$

Раскроем синус суммы: $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x\text{,}$ тогда $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\sin x+\cos x\text{.}$ Подставляем в уравнение:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=\cos x-2\sqrt{3}.$$

Сокращаем $\cos x$ с обеих частей:

$$\sqrt{3}\sin x-2\sqrt{3}{\cos }^{2}x=-2\sqrt{3}.$$

Делим на $\sqrt{3}$ (он не равен нулю):

$$\sin x-2{\cos }^{2}x=-2.$$

Заменяем ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x\text{:}$

$$\sin x-2(1-{\sin }^{2}x)=-2\Rightarrow \sin x-2+2{\sin }^{2}x=-2\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+\sin x=0.$$

Выносим общий множитель:

$$\sin x(2\sin x+1)=0.$$

Получаем два случая:
1) $\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
2) $\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ или $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Для отбора корней на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]\text{:}$

• Из серии $x=\pi k\text{:}$ при $k=-2$ получаем $x=-2\pi \text{,}$ при $k=-1$ — $x=-\pi \text{.}$ Оба лежат в отрезке.
• Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$ при $n=-1$ получаем $x=-\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{13\pi }{6}\text{,}$ что принадлежит отрезку.
• Из серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n\text{:}$ при $n=0$ и $n=-1$ корни не попадают в отрезок.

Ответ:
а) $x=\pi k,k\in \mathbb{Z};x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z};x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{13\pi }{6},-2\pi ,-\pi$