а) Решите уравнение 2sin(x+(pi)/(6))-2sqrt(3)cos^2 x=cos x-2sqrt(3). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-(5pi)/(2); -pi].

Раскроем синус суммы: sin(x+(pi)/(6))=(sqrt(3))/(2)sin x+(1)/(2)cos x, тогда 2sin(x+(pi)/(6))=sqrt(3)sin x+cos x. Подставляем в уравнение: sqrt(3)sin x+cos x-2sqrt(3)cos^2 x=cos x-2sqrt(3). Сокращаем cos x с обеих частей: sqrt(3)sin x-2sqrt(3)cos^2 x=-2sqrt(3). Делим на sqrt(3) (он не равен нулю): sin x-2cos^2 x=-2. Заменяем cos^2 x=1-sin^2 x: sin x-2(1-sin^2 x)=-2=>sin x-2+2sin^2 x=-2=> 2sin^2 x+sin x=0. Выносим общий множитель: sin x(2sin x+1)=0. Получаем два случая: 1) sin x=0=> x=pi k,kinZ. 2) sin x=-(1)/(2)=> x=-(pi)/(6)+2pi n или x=-(5pi)/(6)+2pi n,ninZ. Для отбора корней на отрезке [-(5pi)/(2); -pi]: - Из серии x=pi k: при k=-2 получаем x=-2pi, при k=-1 — x=-pi. Оба лежат в отрезке. - Из серии x=-(pi)/(6)+2pi n: при n=-1 получаем x=-(pi)/(6)-2pi=-(13pi)/(6), что принадлежит отрезку. - Из серии x=-(5pi)/(6)+2pi n: при n=0 и n=-1 корни не попадают в отрезок. Ответ: а) x = pi k, kin Z; x = -(pi)/(6) + 2pi n, nin Z; x = -(5pi)/(6) + 2pi n, nin Z б) -(13pi)/(6),-2pi,-pi

\(\text{а) }\pi k,\; -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\; -\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\text{ где }k,n\in\mathbb{Z}\) \(\text{б) }-\dfrac{13\pi}{6},\; -2\pi,\; -\pi.\)