Найдите точку максимума функции y = (2)/(3)xsqrt(x) - 3x + 1 .

Функция: y = (2)/(3)xsqrt(x) - 3x + 1 = (2)/(3) x^(3/2) - 3x + 1 , область определения x 0 . Найдём производную: y' = (2)/(3)*(3)/(2) x^(1/2) - 3 = sqrt(x) - 3 Критические точки: производная равна нулю или не существует. y' = 0 : sqrt(x) - 3 = 0=>sqrt(x) = 3=> x = 9 Также x = 0 — граничная точка области определения, в ней производная не существует (односторонняя производная бесконечна). Исследуем знак производной: - При 0 < x < 9 : sqrt(x) < 3 , значит y' < 0 , функция убывает. - При x > 9 : sqrt(x) > 3 , значит y' > 0 , функция возрастает. Следовательно, x = 9 — точка минимума (производная меняет знак с минуса на плюс). Для точки максимума необходимо, чтобы производная меняла знак с плюса на минус. В области определения (0; +inf) такой точки нет. На границе x = 0 функция имеет значение y(0) = 1 , но поскольку функция убывает при x > 0 и неограниченно возрастает при x +inf , точка x = 0 не является точкой локального максимума (производная в ней не меняет знак, а слева функция не определена). Ответ: у функции нет точки максимума.

\(\text{нет}\)