Задача №15141

Найдите точку максимума функции $y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-3x+1\text{.}$

Функция: $y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-3x+1=\frac{2}{3}{x}^{3/2}-3x+1\text{,}$ область определения $x⩾0\text{.}$

Найдём производную:

Критические точки: производная равна нулю или не существует.
$y^{\prime }=0\text{:}$

Также $x=0$ — граничная точка области определения, в ней производная не существует (односторонняя производная бесконечна).

Исследуем знак производной:

• При $0<x<9\text{:}$ $\sqrt{x}<3\text{,}$ значит $y^{\prime }<0\text{,}$ функция убывает.
• При $x>9\text{:}$ $\sqrt{x}>3\text{,}$ значит $y^{\prime }>0\text{,}$ функция возрастает.

Следовательно, $x=9$ — точка минимума (производная меняет знак с минуса на плюс).

Для точки максимума необходимо, чтобы производная меняла знак с плюса на минус. В области определения $(0;+\infty )$ такой точки нет. На границе $x=0$ функция имеет значение $y(0)=1\text{,}$ но поскольку функция убывает при $x>0$ и неограниченно возрастает при $x\to +\infty \text{,}$ точка $x=0$ не является точкой локального максимума (производная в ней не меняет знак, а слева функция не определена).

Ответ: у функции нет точки максимума.