а) Решите уравнение 2sin^2 x + sqrt(2)sin(x + (pi)/(4)) = cos x. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2pi; -(pi)/(2)].

а) Преобразуем уравнение, используя формулу синуса суммы: sin(x+(pi)/(4))=sin xcos(pi)/(4)+cos xsin(pi)/(4)=(sqrt(2))/(2)(sin x+cos x). Подставляем в уравнение: 2sin^2 x+sqrt(2)*(sqrt(2))/(2)(sin x+cos x)=cos x=> 2sin^2 x+(sin x+cos x)=cos x. Упрощаем: 2sin^2 x+sin x+cos x-cos x=0=> 2sin^2 x+sin x=0. Выносим sin x: sin x(2sin x+1)=0. Отсюда: sin x=0 или 2sin x+1=0=>sin x=-(1)/(2). Решаем каждое уравнение: sin x=0=> x=pi k, kinZ; sin x=-(1)/(2)=> x=-(pi)/(6)+2pi n или x=(7pi)/(6)+2pi n, ninZ. б) Найдём корни на отрезке [-2pi; -(pi)/(2)]. 1) Для x=pi k: -2pi<=pi k<= -(pi)/(2)=> -2<= k<= -(1)/(2)=> k=-2,-1. При k=-2: x=-2pi; при k=-1: x=-pi. 2) Для x=-(pi)/(6)+2pi n: -2pi<= -(pi)/(6)+2pi n<= -(pi)/(2)=> -2<= -(1)/(6)+2n<= -(1)/(2)=> -(11)/(6)<= 2n<= -(1)/(3)=> -(11)/(12)<= n<= -(1)/(6). Целых n нет. 3) Для x=(7pi)/(6)+2pi n: -2pi<=(7pi)/(6)+2pi n<= -(pi)/(2)=> -2<=(7)/(6)+2n<= -(1)/(2)=> -(19)/(6)<= 2n<= -(10)/(6)=> -(19)/(12)<= n<= -(5)/(6). Единственное целое n=-1, тогда x=(7pi)/(6)-2pi=-(5pi)/(6). Ответ: а) x = pi k, kin Z ; x = -(pi)/(6) + 2pi n , x = (7pi)/(6) + 2pi n, nin Z б) x = -2pi, x = -pi, x = -(5pi)/(6)

\(\text{а) }\left\{ \pi k, -\dfrac{\pi}{6}+2\pi n, \dfrac{7\pi}{6}+2\pi n : k,n\in\mathbb{Z}\right\}\) \(\text{б) }-2\pi, -\pi, -\dfrac{5\pi}{6}.\)