Задача №15140

а) Решите уравнение $2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos x\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}]\text{.}$

а) Преобразуем уравнение, используя формулу синуса суммы:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x).$$

Подставляем в уравнение:

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)=\cos x\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+(\sin x+\cos x)=\cos x.$$

Упрощаем:

$$2{\sin }^{2}x+\sin x+\cos x-\cos x=0\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+\sin x=0.$$

Выносим $\sin x\text{:}$

$$\sin x(2\sin x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0\text{или}2\sin x+1=0\Rightarrow \sin x=-\frac{1}{2}.$$

Решаем каждое уравнение:

$$\sin x=0\Rightarrow x=\pi k,k\in \mathbb{Z};$$ $$\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{или}x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

1) Для $x=\pi k\text{:}$

$$-2\pi \le \pi k\le -\frac{\pi }{2}\Rightarrow -2\le k\le -\frac{1}{2}\Rightarrow k=-2,-1.$$

При $k=-2\text{:}$ $x=-2\pi \text{;}$ при $k=-1\text{:}$ $x=-\pi \text{.}$

2) Для $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

$$-2\pi \le -\frac{\pi }{6}+2\pi n\le -\frac{\pi }{2}\Rightarrow -2\le -\frac{1}{6}+2n\le -\frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{11}{6}\le 2n\le -\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{11}{12}\le n\le -\frac{1}{6}.$$

Целых $n$ нет.

3) Для $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

$$-2\pi \le \frac{7\pi }{6}+2\pi n\le -\frac{\pi }{2}\Rightarrow -2\le \frac{7}{6}+2n\le -\frac{1}{2}\Rightarrow -\frac{19}{6}\le 2n\le -\frac{10}{6}\Rightarrow -\frac{19}{12}\le n\le -\frac{5}{6}.$$

Единственное целое $n=-1\text{,}$ тогда $x=\frac{7\pi }{6}-2\pi =-\frac{5\pi }{6}\text{.}$

Ответ:
а) $x=\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

б) $x=-2\pi ,x=-\pi ,x=-\frac{5\pi }{6}$