а) Решите уравнение 2 + 2cos(pi - 2x) + sqrt(8)sin x = sqrt(6) + sqrt(12)sin x . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3pi; (9pi)/(2)].

а) Упростим уравнение: 2 + 2cos(pi - 2x) + sqrt(8)sin x = sqrt(6) + sqrt(12)sin x. По формуле приведения cos(pi - 2x) = -cos 2x. Упростим радикалы: sqrt(8) = 2sqrt(2), sqrt(12) = 2sqrt(3). Подставим: 2 - 2cos 2x + 2sqrt(2)sin x = sqrt(6) + 2sqrt(3)sin x. Перенесём все слагаемые влево: 2 - 2cos 2x + 2sqrt(2)sin x - sqrt(6) - 2sqrt(3)sin x = 0. Сгруппируем слагаемые с sin x и свободные члены: (2 - sqrt(6)) - 2cos 2x + (2sqrt(2) - 2sqrt(3)) sin x = 0. Выразим cos 2x = 1 - 2sin^2 x: (2 - sqrt(6)) - 2(1 - 2sin^2 x) + (2sqrt(2) - 2sqrt(3)) sin x = 0. Раскроем скобки: 2 - sqrt(6) - 2 + 4sin^2 x + (2sqrt(2) - 2sqrt(3)) sin x = 0. Сократим 2 - 2 = 0: -sqrt(6) + 4sin^2 x + (2sqrt(2) - 2sqrt(3)) sin x = 0. Умножим всё на -1: sqrt(6) - 4sin^2 x - (2sqrt(2) - 2sqrt(3)) sin x = 0. Запишем как квадратное уравнение относительно t = sin x: -4t^2 - (2sqrt(2) - 2sqrt(3))t + sqrt(6) = 0. Умножим на -1: 4t^2 + (2sqrt(2) - 2sqrt(3))t - sqrt(6) = 0. Найдём дискриминант: D = (2sqrt(2) - 2sqrt(3))^2 + 16sqrt(6) = 4(2 - 2sqrt(6) + 3) + 16sqrt(6) = 4(5 - 2sqrt(6)) + 16sqrt(6) = 20 - 8sqrt(6) + 16sqrt(6) = 20 + 8sqrt(6). Заметим, что 20 + 8sqrt(6) = (2sqrt(2) + 2sqrt(3))^2 = 4(2 + 2sqrt(6) + 3) = 4(5 + 2sqrt(6)) = 20 + 8sqrt(6). Тогда sqrt(D) = 2sqrt(2) + 2sqrt(3). Найдём корни: t_(1,2) = (-(2sqrt(2) - 2sqrt(3)) +- (2sqrt(2) + 2sqrt(3)))/(8) = (-2sqrt(2) + 2sqrt(3)+- (2sqrt(2) + 2sqrt(3)))/(8). Рассмотрим два случая: t_1 = (-2sqrt(2) + 2sqrt(3) + 2sqrt(2) + 2sqrt(3))/(8) = (4sqrt(3))/(8) = (sqrt(3))/(2), t_2 = (-2sqrt(2) + 2sqrt(3) - 2sqrt(2) - 2sqrt(3))/(8) = (-4sqrt(2))/(8) = -(sqrt(2))/(2). Таким образом, sin x = (sqrt(3))/(2) или sin x = -(sqrt(2))/(2). Решим первое уравнение: sin x = (sqrt(3))/(2)<=> x = (pi)/(3) + 2pi k, x = (2pi)/(3) + 2pi k, kin Z. Решим второе уравнение: sin x = -(sqrt(2))/(2)<=> x = -(pi)/(4) + 2pi k, x = (5pi)/(4) + 2pi k, kin Z. Или в общем виде: x = -(pi)/(4) + 2pi k = (7pi)/(4) + 2pi k, x = (5pi)/(4) + 2pi k, kin Z. б) Найдём корни на отрезке [3pi; (9pi)/(2)]. Заметим, что 3pi = (6pi)/(2), (9pi)/(2) = 4.5pi. Рассмотрим каждую серию. 1) x = (pi)/(3) + 2pi k: 3pi (pi)/(3) + 2pi k (9pi)/(2). Делим на pi: 3 (1)/(3) + 2k (9)/(2). Вычтем (1)/(3): 3 - (1)/(3) = (8)/(3), (9)/(2) - (1)/(3) = (27 - 2)/(6) = (25)/(6). (8)/(3) 2k (25)/(6)=>(4)/(3) k (25)/(12)~ 2.083. Целые k: k = 2. Тогда x = (pi)/(3) + 4pi = (pi)/(3) + (12pi)/(3) = (13pi)/(3). Проверим границы: (13pi)/(3)~ 13.613, 3pi~ 9.425, (9pi)/(2)~ 14.137. Подходит. 2) x = (2pi)/(3) + 2pi k: 3pi (2pi)/(3) + 2pi k (9pi)/(2). Делим на pi: 3 (2)/(3) + 2k (9)/(2). Вычтем (2)/(3): 3 - (2)/(3) = (7)/(3), (9)/(2) - (2)/(3) = (27 - 4)/(6) = (23)/(6). (7)/(3) 2k (23)/(6)=>(7)/(6) k (23)/(12)~ 1.916. Целые k: k = 1. Тогда x = (2pi)/(3) + 2pi = (2pi)/(3) + (6pi)/(3) = (8pi)/(3). Проверим: (8pi)/(3)~ 8.378, что меньше 3pi~ 9.425. Не подходит. Проверим k = 2: x = (2pi)/(3) + 4pi = (2pi)/(3) + (12pi)/(3) = (14pi)/(3)~ 14.661, что больше (9pi)/(2)~ 14.137. Не подходит. Значит, из этой серии нет корней на отрезке. 3) x = (5pi)/(4) + 2pi k: 3pi (5pi)/(4) + 2pi k (9pi)/(2). Делим на pi: 3 (5)/(4) + 2k (9)/(2). Вычтем (5)/(4): 3 - (5)/(4) = (7)/(4), (9)/(2) - (5)/(4) = (18 - 5)/(4) = (13)/(4). (7)/(4) 2k (13)/(4)=>(7)/(8) k (13)/(8) = 1.625. Целые k: k = 1. Тогда x = (5pi)/(4) + 2pi = (5pi)/(4) + (8pi)/(4) = (13pi)/(4). Проверим: (13pi)/(4)~ 10.210, входит в отрезок. 4) x = (7pi)/(4) + 2pi k: 3pi (7pi)/(4) + 2pi k (9pi)/(2). Делим на pi: 3 (7)/(4) + 2k (9)/(2). Вычтем (7)/(4): 3 - (7)/(4) = (5)/(4), (9)/(2) - (7)/(4) = (18 - 7)/(4) = (11)/(4). (5)/(4) 2k (11)/(4)=>(5)/(8) k (11)/(8) = 1.375. Целые k: k = 1. Тогда x = (7pi)/(4) + 2pi = (7pi)/(4) + (8pi)/(4) = (15pi)/(4). Проверим: (15pi)/(4)~ 11.781, входит в отрезок. Ответ: а) x = (pi)/(3) + 2pi k, x = (2pi)/(3) + 2pi k, x = (5pi)/(4) + 2pi k, x = (7pi)/(4) + 2pi k, kin Z б) (13pi)/(3), (13pi)/(4), (15pi)/(4)

а) \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, \dfrac{5\pi}{4} + 2\pi k, \dfrac{7\pi}{4} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}\) б) \(\dfrac{13\pi}{3}, \dfrac{13\pi}{4}, \dfrac{15\pi}{4}\)