Задача №15139

а) Решите уравнение
$2+2\cos (\pi -2x)+\sqrt{8}\sin x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\sin x\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Упростим уравнение:

$$2+2\cos (\pi -2x)+\sqrt{8}\sin x=\sqrt{6}+\sqrt{12}\sin x.$$

По формуле приведения $\cos (\pi -2x)=-\cos 2x\text{.}$ Упростим радикалы: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{,}$ $\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{.}$ Подставим:

$$2-2\cos 2x+2\sqrt{2}\sin x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\sin x.$$

Перенесём все слагаемые влево:

$$2-2\cos 2x+2\sqrt{2}\sin x-\sqrt{6}-2\sqrt{3}\sin x=0.$$

Сгруппируем слагаемые с $\sin x$ и свободные члены:

$$(2-\sqrt{6})-2\cos 2x+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\sin x=0.$$

Выразим $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\text{:}$

$$(2-\sqrt{6})-2(1-2{\sin }^{2}x)+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\sin x=0.$$

Раскроем скобки:

$$2-\sqrt{6}-2+4{\sin }^{2}x+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\sin x=0.$$

Сократим $2-2=0\text{:}$

$$-\sqrt{6}+4{\sin }^{2}x+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\sin x=0.$$

Умножим всё на $-1\text{:}$

$$\sqrt{6}-4{\sin }^{2}x-(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\sin x=0.$$

Запишем как квадратное уравнение относительно $t=\sin x\text{:}$

$$-4t^2-(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})t+\sqrt{6}=0.$$

Умножим на $-1\text{:}$

$$4t^2+(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})t-\sqrt{6}=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(2\sqrt{2}-2\sqrt{3}{)}^2+16\sqrt{6}=4(2-2\sqrt{6}+3)+16\sqrt{6}=4(5-2\sqrt{6})+16\sqrt{6}=20-8\sqrt{6}+16\sqrt{6}=20+8\sqrt{6}.$$

Заметим, что $20+8\sqrt{6}=(2\sqrt{2}+2\sqrt{3}{)}^2=4(2+2\sqrt{6}+3)=4(5+2\sqrt{6})=20+8\sqrt{6}\text{.}$ Тогда

$$\sqrt{D}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}.$$

Найдём корни:

$$t_{1,2}=\frac{-(2\sqrt{2}-2\sqrt{3})\pm (2\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{8}=\frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\pm (2\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{8}.$$

Рассмотрим два случая:

$$t_1=\frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{8}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$t_2=\frac{-2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{8}=\frac{-4\sqrt{2}}{8}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Таким образом, $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$

Решим первое уравнение:

$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Решим второе уравнение:

$$\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,x=\frac{5\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Или в общем виде:

$$x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k=\frac{7\pi }{4}+2\pi k,x=\frac{5\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

Заметим, что $3\pi =\frac{6\pi }{2}\text{,}$ $\frac{9\pi }{2}=4.5\pi \text{.}$ Рассмотрим каждую серию.

1) $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$

$$3\pi ⩽\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{9\pi }{2}.$$

Делим на $\pi \text{:}$

$$3⩽\frac{1}{3}+2k⩽\frac{9}{2}.$$

Вычтем $\frac{1}{3}\text{:}$ $3-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}\text{,}$ $\frac{9}{2}-\frac{1}{3}=\frac{27-2}{6}=\frac{25}{6}\text{.}$

$$\frac{8}{3}⩽2k⩽\frac{25}{6}\Rightarrow \frac{4}{3}⩽k⩽\frac{25}{12}\approx \mathrm{2.083.}$$

Целые $k\text{:}$ $k=2\text{.}$ Тогда $x=\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{\pi }{3}+\frac{12\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}\text{.}$

Проверим границы: $\frac{13\pi }{3}\approx 13.613\text{,}$ $3\pi \approx 9.425\text{,}$ $\frac{9\pi }{2}\approx 14.137\text{.}$ Подходит.

2) $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{:}$

$$3\pi ⩽\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{9\pi }{2}.$$

Делим на $\pi \text{:}$

$$3⩽\frac{2}{3}+2k⩽\frac{9}{2}.$$

Вычтем $\frac{2}{3}\text{:}$ $3-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}\text{,}$ $\frac{9}{2}-\frac{2}{3}=\frac{27-4}{6}=\frac{23}{6}\text{.}$

$$\frac{7}{3}⩽2k⩽\frac{23}{6}\Rightarrow \frac{7}{6}⩽k⩽\frac{23}{12}\approx \mathrm{1.916.}$$

Целые $k\text{:}$ $k=1\text{.}$ Тогда $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{2\pi }{3}+\frac{6\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}\text{.}$

Проверим: $\frac{8\pi }{3}\approx 8.378\text{,}$ что меньше $3\pi \approx 9.425\text{.}$ Не подходит. Проверим $k=2\text{:}$ $x=\frac{2\pi }{3}+4\pi =\frac{2\pi }{3}+\frac{12\pi }{3}=\frac{14\pi }{3}\approx 14.661\text{,}$ что больше $\frac{9\pi }{2}\approx 14.137\text{.}$ Не подходит. Значит, из этой серии нет корней на отрезке.

3) $x=\frac{5\pi }{4}+2\pi k\text{:}$

$$3\pi ⩽\frac{5\pi }{4}+2\pi k⩽\frac{9\pi }{2}.$$

Делим на $\pi \text{:}$

$$3⩽\frac{5}{4}+2k⩽\frac{9}{2}.$$

Вычтем $\frac{5}{4}\text{:}$ $3-\frac{5}{4}=\frac{7}{4}\text{,}$ $\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{18-5}{4}=\frac{13}{4}\text{.}$

$$\frac{7}{4}⩽2k⩽\frac{13}{4}\Rightarrow \frac{7}{8}⩽k⩽\frac{13}{8}=\mathrm{1.625.}$$

Целые $k\text{:}$ $k=1\text{.}$ Тогда $x=\frac{5\pi }{4}+2\pi =\frac{5\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{13\pi }{4}\text{.}$

Проверим: $\frac{13\pi }{4}\approx 10.210\text{,}$ входит в отрезок.

4) $x=\frac{7\pi }{4}+2\pi k\text{:}$

$$3\pi ⩽\frac{7\pi }{4}+2\pi k⩽\frac{9\pi }{2}.$$

Делим на $\pi \text{:}$

$$3⩽\frac{7}{4}+2k⩽\frac{9}{2}.$$

Вычтем $\frac{7}{4}\text{:}$ $3-\frac{7}{4}=\frac{5}{4}\text{,}$ $\frac{9}{2}-\frac{7}{4}=\frac{18-7}{4}=\frac{11}{4}\text{.}$

$$\frac{5}{4}⩽2k⩽\frac{11}{4}\Rightarrow \frac{5}{8}⩽k⩽\frac{11}{8}=\mathrm{1.375.}$$

Целые $k\text{:}$ $k=1\text{.}$ Тогда $x=\frac{7\pi }{4}+2\pi =\frac{7\pi }{4}+\frac{8\pi }{4}=\frac{15\pi }{4}\text{.}$

Проверим: $\frac{15\pi }{4}\approx 11.781\text{,}$ входит в отрезок.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,x=\frac{5\pi }{4}+2\pi k,x=\frac{7\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{13\pi }{3},\frac{13\pi }{4},\frac{15\pi }{4}$