а) Решите уравнение 27* 81^(sin x) - 12* 9^(sin x) + 1 = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(3pi)/(2); 3pi] .

а) Уравнение: 27* 81^(sin x) - 12* 9^(sin x) + 1 = 0. Заметим, что 81=9^2, поэтому 81^(sin x)=9^(2sin x). Подставим: 27* 9^(2sin x) - 12* 9^(sin x) + 1 = 0. Сделаем замену t=9^(sin x), t>0. Тогда 9^(2sin x)=t^2: 27t^2 - 12t + 1 = 0. Дискриминант: D=(-12)^2-4*27*1=36. Корни: t = (12+-sqrt(36))/(54) = (12+-6)/(54) => t_1=(1)/(3), t_2=(1)/(9). Возвращаемся к x: 1) 9^(sin x)=(1)/(3). Так как (1)/(3)=9^(-1/2), то sin x=-(1)/(2). 2) 9^(sin x)=(1)/(9)=9^(-1), тогда sin x=-1. Решаем уравнения: Для sin x=-(1)/(2): x = (-1)^(n+1)(pi)/(6)+pi n, ninZ, или двумя сериями: x = -(pi)/(6)+2pi k, x = (7pi)/(6)+2pi k, kinZ. Для sin x=-1: x = -(pi)/(2)+2pi m, minZ. б) Найдем корни на отрезке [(3pi)/(2); 3pi]. Для x=-(pi)/(6)+2pi k: (3pi)/(2)<= -(pi)/(6)+2pi k<= 3pi => k=1, x=(11pi)/(6). Для x=(7pi)/(6)+2pi k: ни при k=0, ни при k=1 корни не попадают в отрезок. Для x=-(pi)/(2)+2pi m: (3pi)/(2)<= -(pi)/(2)+2pi m<= 3pi => m=1, x=(3pi)/(2). Ответ: а) x = (-1)^(n+1)(pi)/(6)+pi n, ninZ или x = -(pi)/(6)+2pi k, x = (7pi)/(6)+2pi k, kinZ и x = -(pi)/(2)+2pi m, minZ б) (11pi)/(6), (3pi)/(2)

а) \(x = -\dfrac{\pi}{6}+2\pi k, x = \dfrac{7\pi}{6}+2\pi k, x = -\dfrac{\pi}{2}+2\pi m, k, m \in \mathbb{Z}\) б) \(\dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6}\)