Задача №15135

а) Решите уравнение
$27\cdot 81^{\sin x}-12\cdot 9^{\sin x}+1=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$

а) Уравнение: $27\cdot 81^{\sin x}-12\cdot 9^{\sin x}+1=0\text{.}$
Заметим, что $81=9^2\text{,}$ поэтому $81^{\sin x}=9^{2\sin x}\text{.}$ Подставим:

$$27\cdot 9^{2\sin x}-12\cdot 9^{\sin x}+1=0.$$

Сделаем замену $t=9^{\sin x}\text{,}$ $t>0\text{.}$ Тогда $9^{2\sin x}=t^2\text{:}$

$$27t^2-12t+1=0.$$

Дискриминант: $D=(-12{)}^2-4\cdot 27\cdot 1=36\text{.}$ Корни:

$$t=\frac{12\pm \sqrt{36}}{54}=\frac{12\pm 6}{54}\Rightarrow t_1=\frac{1}{3},t_2=\frac{1}{9}.$$

Возвращаемся к $x\text{:}$
1) $9^{\sin x}=\frac{1}{3}\text{.}$ Так как $\frac{1}{3}=9^{-1/2}\text{,}$ то $\sin x=-\frac{1}{2}\text{.}$
2) $9^{\sin x}=\frac{1}{9}=9^{-1}\text{,}$ тогда $\sin x=-1\text{.}$
Решаем уравнения:
Для $\sin x=-\frac{1}{2}\text{:}$

$$x=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z},$$

или двумя сериями:

$$x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Для $\sin x=-1\text{:}$

$$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]\text{.}$
Для $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$

$$\frac{3\pi }{2}\le -\frac{\pi }{6}+2\pi k\le 3\pi \Rightarrow k=1,x=\frac{11\pi }{6}.$$

Для $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ ни при $k=0\text{,}$ ни при $k=1$ корни не попадают в отрезок.
Для $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi m\text{:}$

$$\frac{3\pi }{2}\le -\frac{\pi }{2}+2\pi m\le 3\pi \Rightarrow m=1,x=\frac{3\pi }{2}.$$

Ответ:

а) $x=(-1{)}^{n+1}\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ или $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ и $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi m,m\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{11\pi }{6},\frac{3\pi }{2}$