Задача №15133

а) Решите уравнение
$\cos 2x-3\sin (-x)-2=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим уравнение, используя свойство нечётности синуса: $\sin (-x)=-\sin x\text{.}$

$$\cos 2x-3(-\sin x)-2=0\Rightarrow \cos 2x+3\sin x-2=0.$$

Выразим $\cos 2x$ через $\sin x\text{:}$ $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x\text{.}$

$$1-2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0\Rightarrow -2{\sin }^{2}x+3\sin x-1=0.$$

Умножаем на $-1\text{:}$

$$2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0.$$

Решаем квадратное уравнение относительно $\sin x\text{:}$

$$\sin x=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{4}=\frac{3\pm 1}{4}\Rightarrow \sin x=1\text{или}\sin x=\frac{1}{2}.$$

1. $\sin x=1\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
2. $\sin x=\frac{1}{2}\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Для отбора корней на отрезке $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ переведём границы: $3\pi =\frac{6\pi }{2}\text{,}$ $\frac{9\pi }{2}\text{.}$

• Для $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k\text{:}$ при $k=2$ получаем $\frac{\pi }{2}+4\pi =\frac{9\pi }{2}$ — входит.
• Для $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ при $k=2$ получаем $\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{25\pi }{6}$ — лежит между $3\pi$ и $\frac{9\pi }{2}\text{.}$
• Для $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ ни при каком целом $k$ корни не попадают в заданный отрезок.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $x=\frac{9\pi }{2}\text{,}$ $x=\frac{25\pi }{6}\text{.}$