Задача №15132

а) Решите уравнение $2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin (2\pi -x)+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{6}\cos x\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим уравнение, используя формулы приведения и двойного угла:

$$\sin (2\pi -x)=-\sin x,\sin 2x=2\sin x\cos x.$$

Подставляем:

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}(-\sin x)+\sqrt{3}\cdot 2\sin x\cos x=\sqrt{6}\cos x.$$

Переносим всё в одну сторону и группируем:

$$2{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sin x+2\sqrt{3}\sin x\cos x-\sqrt{6}\cos x=0.$$

Выносим множители:

$$\sin x(2\sin x-\sqrt{2})+\cos x(2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{6})=0.$$

Преобразуем скобки:

$$\sqrt{2}\sin x(\sqrt{2}\sin x-1)+\sqrt{6}\cos x(\sqrt{2}\sin x-1)=0.$$

Выносим общий множитель:

$$(\sqrt{2}\sin x-1)(\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x)=0.$$

Получаем два уравнения:

1) $\sqrt{2}\sin x-1=0\Rightarrow \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$

2) $\sqrt{2}\sin x+\sqrt{6}\cos x=0\Rightarrow \sqrt{2}\sin x=-\sqrt{6}\cos x\text{.}$

Делим второе на $\sqrt{2}\cos x$ (проверка показывает, что $\cos x=0$ не является решением):

$$\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}.$$

Решаем:

1) $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+2\pi n$ или $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

2) $\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Теперь найдем корни на отрезке $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]\text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$ при $n=0$ получаем $x=\frac{\pi }{4}$ — входит.

Для $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ нет подходящих целых $n\text{.}$

Для $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k\text{:}$ при $k=0$ получаем $x=-\frac{\pi }{3}$ — входит.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n,x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,n,k\in \mathbb{Z}$

б) $x=\frac{\pi }{4},x=-\frac{\pi }{3}$