Найдите наибольшее значение функции y = ln(8x) - 8x + 7 на отрезке [ (1)/(16); (5)/(16)].
Область определения: x > 0 . На отрезке [ (1)/(16); (5)/(16)] функция определена. Найдем производную: y' = (1)/(x) - 8 = (1 - 8x)/(x) . Приравняем к нулю: 1 - 8x = 0=> x = (1)/(8) . Точка (1)/(8) принадлежит отрезку, так как (1)/(16) = 0.0625 < 0.125 = (1)/(8) < 0.3125 = (5)/(16) . Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: y((1)/(16)) = ln(8*(1)/(16)) - 8*(1)/(16) + 7 = ln((1)/(2)) - (1)/(2) + 7 = -ln 2 - 0.5 + 7 = 6.5 - ln 2. y((1)/(8)) = ln(8*(1)/(8)) - 8*(1)/(8) + 7 = ln 1 - 1 + 7 = 0 - 1 + 7 = 6. y((5)/(16)) = ln(8*(5)/(16)) - 8*(5)/(16) + 7 = ln((5)/(2)) - (5)/(2) + 7 = ln 2.5 - 2.5 + 7 = 4.5 + ln 2.5. Сравним численно: ln 2~ 0.6931 , тогда y(1/16) ~ 6.5 - 0.6931 = 5.8069 ; ln 2.5~ 0.9163 , тогда y(5/16) ~ 4.5 + 0.9163 = 5.4163 . Ответ: 6 .
\(6\)