Задача №15131

Найдите наибольшее значение функции $y=\ln (8x)-8x+7$ на отрезке $\left[\frac{1}{16};\frac{5}{16}\right].$

Область определения: $x>0\text{.}$ На отрезке $\left[\frac{1}{16};\frac{5}{16}\right]$ функция определена.

Найдем производную: $y^{\prime }=\frac{1}{x}-8=\frac{1-8x}{x}\text{.}$

Приравняем к нулю: $1-8x=0\Rightarrow x=\frac{1}{8}\text{.}$ Точка $\frac{1}{8}$ принадлежит отрезку, так как $\frac{1}{16}=0.0625<0.125=\frac{1}{8}<0.3125=\frac{5}{16}\text{.}$

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

Сравним численно: $\ln 2\approx 0.6931\text{,}$ тогда $y(1/16)\approx 6.5-0.6931=5.8069\text{;}$ $\ln 2.5\approx 0.9163\text{,}$ тогда $y(5/16)\approx 4.5+0.9163=5.4163\text{.}$

Ответ: $6\text{.}$