а) Решите уравнение 1 - cos 2x + sqrt(2)sin x = sqrt(2) - 2sin(x + pi). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi; -(3pi)/(2)].

Упростим уравнение, используя формулы: cos 2x = 1 - 2sin^2 x и sin(x + pi) = -sin x. Подставим: 1 - (1 - 2sin^2 x) + sqrt(2)sin x = sqrt(2) - 2(-sin x). 1 - 1 + 2sin^2 x + sqrt(2)sin x = sqrt(2) + 2sin x. 2sin^2 x + sqrt(2)sin x = sqrt(2) + 2sin x. Перенесём все слагаемые влево: 2sin^2 x + sqrt(2)sin x - sqrt(2) - 2sin x = 0. Сгруппируем слагаемые с sin x: 2sin^2 x + (sqrt(2) - 2)sin x - sqrt(2) = 0. Сделаем замену t = sin x: 2t^2 + (sqrt(2) - 2)t - sqrt(2) = 0. Найдём дискриминант: D = (sqrt(2) - 2)^2 + 8sqrt(2) = 2 - 4sqrt(2) + 4 + 8sqrt(2) = 6 + 4sqrt(2). sqrt(D) = sqrt(6 + 42) = sqrt(4 + 42 + 2) = sqrt((2 + 2)^2) = 2 + sqrt(2). Заметим, что 6 + 4sqrt(2) = (2 + sqrt(2))^2. t = (-(sqrt(2) - 2) +- (2 + sqrt(2)))/(4). Рассмотрим два случая: 1) t_1 = (-sqrt(2) + 2 + 2 + sqrt(2))/(4) = (4)/(4) = 1. 2) t_2 = (-sqrt(2) + 2 - 2 - sqrt(2))/(4) = (-2sqrt(2))/(4) = -(sqrt(2))/(2). Итак, sin x = 1 или sin x = -(sqrt(2))/(2). Решаем первое уравнение: x = (pi)/(2) + 2pi k, kin Z. Решаем второе уравнение: x = -(pi)/(4) + 2pi k или x = -(3pi)/(4) + 2pi k, kin Z. б) Отберём корни на отрезке [-3pi; -(3pi)/(2)]. Серия x = (pi)/(2) + 2pi k: При k=-1: x = (pi)/(2) - 2pi = -(3pi)/(2)in[-3pi; -(3pi)/(2)]. При k=-2: x = (pi)/(2) - 4pi = -(7pi)/(2) < -3pi — не подходит. Серия x = -(pi)/(4) + 2pi k: При k=-1: x = -(pi)/(4) - 2pi = -(9pi)/(4)~ -2.25piin[-3pi; -(3pi)/(2)]. При k=0: x = -(pi)/(4)~ -0.25pi > -(3pi)/(2) — не подходит. Серия x = -(3pi)/(4) + 2pi k: При k=-1: x = -(3pi)/(4) - 2pi = -(11pi)/(4)~ -2.75piin[-3pi; -(3pi)/(2)]. При k=0: x = -(3pi)/(4)~ -0.75pi > -(3pi)/(2) — не подходит. Итого: -(3pi)/(2), -(9pi)/(4), -(11pi)/(4).

а) \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k\); \(x = -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi k\); \(x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) б) \(-\dfrac{3\pi}{2}\), \(-\dfrac{9\pi}{4}\), \(-\dfrac{11\pi}{4}\)