а) Решите уравнение 1−cos2x+2sinx=2−2sin(x+π).
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π;−23π].
Упростим уравнение, используя формулы:
cos2x=1−2sin2x и sin(x+π)=−sinx.
Подставим:
Перенесём все слагаемые влево:
2sin2x+2sinx−2−2sinx=0.Сгруппируем слагаемые с sinx:
2sin2x+(2−2)sinx−2=0.Сделаем замену t=sinx:
2t2+(2−2)t−2=0.Найдём дискриминант:
D=(2−2)2+82=2−42+4+82=6+42. D=6+42=4+42+2=(2+2)2=2+2.Заметим, что 6+42=(2+2)2.
t=4−(2−2)±(2+2).Рассмотрим два случая:
1) t1=4−2+2+2+2=44=1.
2) t2=4−2+2−2−2=4−22=−22.
Итак, sinx=1 или sinx=−22.
Решаем первое уравнение: x=2π+2πk,k∈Z.
Решаем второе уравнение: x=−4π+2πk или x=−43π+2πk,k∈Z.
б) Отберём корни на отрезке [−3π;−23π].
Серия x=2π+2πk:
При k=−1: x=2π−2π=−23π∈[−3π;−23π].
При k=−2: x=2π−4π=−27π<−3π — не подходит.
Серия x=−4π+2πk:
При k=−1: x=−4π−2π=−49π≈−2.25π∈[−3π;−23π].
При k=0: x=−4π≈−0.25π>−23π — не подходит.
Серия x=−43π+2πk:
При k=−1: x=−43π−2π=−411π≈−2.75π∈[−3π;−23π].
При k=0: x=−43π≈−0.75π>−23π — не подходит.
Итого: −23π,−49π,−411π.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ