Задача №15129

а) Решите уравнение
${\left(\frac{1}{49}\right)}^{\sin (x+\pi )}=7^{2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Преобразуем левую часть:

$${\left(\frac{1}{49}\right)}^{\sin (x+\pi )}={\left(7^{-2}\right)}^{\sin (x+\pi )}=7^{-2\sin (x+\pi )}.$$

Используем формулу приведения: $\sin (x+\pi )=-\sin x\text{,}$ тогда $-2\sin (x+\pi )=2\sin x\text{,}$ так что левая часть равна $7^{2\sin x}\text{.}$
Правая часть:

$$7^{2\sqrt{3}\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=7^{2\sqrt{3}\cos x},$$

поскольку $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\text{.}$
Уравнение принимает вид:

$$7^{2\sin x}=7^{2\sqrt{3}\cos x}.$$

Приравниваем показатели:

$$2\sin x=2\sqrt{3}\cos x\Rightarrow \sin x=\sqrt{3}\cos x.$$

Если $\cos x=0\text{,}$ то $\sin x=\pm 1\text{,}$ равенство не выполняется. Значит, $\cos x\ne 0\text{,}$ делим на $\cos x\text{:}$

$$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}.$$

Общее решение:

$$x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{:}$

$$3\pi \le \frac{\pi }{3}+\pi k\le \frac{9\pi }{2}.$$

Делим на $\pi \text{:}$

$$3\le \frac{1}{3}+k\le \frac{9}{2}.$$

Вычитаем $\frac{1}{3}\text{:}$

$$\frac{8}{3}\le k\le \frac{25}{6}.$$

Целые $k\text{:}$ $k=3$ и $k=4\text{.}$
При $k=3\text{:}$ $x=\frac{\pi }{3}+3\pi =\frac{10\pi }{3}\text{.}$
При $k=4\text{:}$ $x=\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{13\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{10\pi }{3},\frac{13\pi }{3}$