а) Решите уравнение ((1)/(49))^(sin (x + pi)) = 7^(2sqrt(3)sin((pi)/(2) - x)) . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3pi; (9pi)/(2)] .

а) Преобразуем левую часть: ((1)/(49))^(sin(x+pi)) = (7^(-2))^(sin(x+pi)) = 7^(-2sin(x+pi)). Используем формулу приведения: sin(x+pi)=-sin x, тогда -2sin(x+pi)=2sin x, так что левая часть равна 7^(2sin x). Правая часть: 7^(2sqrt(3)sin((pi)/(2)-x)) = 7^(2sqrt(3)cos x), поскольку sin((pi)/(2)-x)=cos x. Уравнение принимает вид: 7^(2sin x) = 7^(2sqrt(3)cos x). Приравниваем показатели: 2sin x = 2sqrt(3)cos x => sin x = sqrt(3)cos x. Если cos x=0, то sin x=+-1, равенство не выполняется. Значит, cos x0, делим на cos x: tg x = sqrt(3). Общее решение: x = (pi)/(3) + pi k, kinZ. б) Найдем корни на отрезке [3pi; (9pi)/(2)] : 3pi<=(pi)/(3) + pi k<=(9pi)/(2). Делим на pi: 3<=(1)/(3) + k<=(9)/(2). Вычитаем (1)/(3): (8)/(3)<= k<=(25)/(6). Целые k: k=3 и k=4. При k=3: x = (pi)/(3) + 3pi = (10pi)/(3). При k=4: x = (pi)/(3) + 4pi = (13pi)/(3). Ответ: а) x = (pi)/(3) + pi k, kin Z б) (10pi)/(3), (13pi)/(3)

а) \(x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k, k\in\mathbb{Z}\) б) \(\dfrac{10\pi}{3}, \dfrac{13\pi}{3}\)