Задача №15126

Найдите точку минимума функции $y=x^3-14x^2+49x+3\text{.}$

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола ветвями вверх. Производная положительна на интервалах $(-\infty ;\frac{7}{3})$ и $(7;+\infty )\text{,}$ отрицательна на $(\frac{7}{3};7)\text{.}$ Значит, производная меняет знак с "+" на "-" в точке $x=\frac{7}{3}$ и с "-" на "+" в точке $x=7\text{.}$ Точка минимума — это точка, где производная меняет знак с "-" на "+".

Ответ: $x=7$