а) Решите уравнение 2sin^2((pi)/(2) - x) + sin 2x = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3pi; (9pi)/(2)].
Используем формулу приведения: sin((pi)/(2) - x) = cos x. Уравнение принимает вид 2cos^2 x + sin 2x = 0. Заменяем sin 2x = 2sin xcos x: 2cos^2 x + 2sin xcos x = 0=> 2cos x (cos x + sin x) = 0. Отсюда cos x = 0 или cos x + sin x = 0. Решаем cos x = 0: x = (pi)/(2) + pi k, kin Z. Решаем cos x + sin x = 0 (делим на cos x!= 0): tg x = -1, откуда x = -(pi)/(4) + pi n, nin Z. Для отбора корней на отрезке [3pi; (9pi)/(2)]: Для x = (pi)/(2) + pi k: 3pi (pi)/(2) + pi k (9pi)/(2)=> 3 (1)/(2) + k (9)/(2)=>(5)/(2) k 4, целые k = 3, 4. Корни: (7pi)/(2) (при k=3), (9pi)/(2) (при k=4). Для x = -(pi)/(4) + pi n: 3pi -(pi)/(4) + pi n (9pi)/(2)=> 3 -(1)/(4) + n (9)/(2)=> 3.25 n 4.75, целое n = 4. Корень: (15pi)/(4) (при n=4). Ответ: а) x = (pi)/(2) + pi k, kin Z; x = -(pi)/(4) + pi n, nin Z. б) (7pi)/(2), (9pi)/(2), (15pi)/(4).
\(\text{а) }x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k, k\in \mathbb{Z};x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n, n\in \mathbb{Z}\)
\(\text{б) }\dfrac{7\pi}{2},\dfrac{9\pi}{2},\dfrac{15\pi}{4}.\)