Задача №15125

а) Решите уравнение
$2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)+\sin 2x=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

Используем формулу приведения: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\text{.}$ Уравнение принимает вид $2{\cos }^{2}x+\sin 2x=0\text{.}$
Заменяем $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$

$$2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x=0\Rightarrow 2\cos x(\cos x+\sin x)=0.$$

Отсюда $\cos x=0$ или $\cos x+\sin x=0\text{.}$
Решаем $\cos x=0\text{:}$ $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
Решаем $\cos x+\sin x=0$ (делим на $\cos x\ne 0$): $\mathrm{tg}x=-1\text{,}$ откуда $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

Для отбора корней на отрезке $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{:}$

1. Для $x=\frac{\pi }{2}+\pi k\text{:}$
$3\pi ⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽\frac{9\pi }{2}\Rightarrow 3⩽\frac{1}{2}+k⩽\frac{9}{2}\Rightarrow \frac{5}{2}⩽k⩽4\text{,}$ целые $k=3,4\text{.}$
Корни: $\frac{7\pi }{2}$ (при $k=3$), $\frac{9\pi }{2}$ (при $k=4$).

2. Для $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n\text{:}$
$3\pi ⩽-\frac{\pi }{4}+\pi n⩽\frac{9\pi }{2}\Rightarrow 3⩽-\frac{1}{4}+n⩽\frac{9}{2}\Rightarrow 3.25⩽n⩽4.75\text{,}$ целое $n=4\text{.}$
Корень: $\frac{15\pi }{4}$ (при $n=4$).

Ответ:
а) $x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{;}$ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $\frac{7\pi }{2},\frac{9\pi }{2},\frac{15\pi }{4}\text{.}$