Задача №15124

а) Решите уравнение
$16^{\sin x}-6\cdot 4^{\sin x}+8=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Заметим, что $16^{\sin x}=(4^2{)}^{\sin x}=(4^{\sin x}{)}^2\text{.}$ Сделаем замену $t=4^{\sin x}>0\text{:}$

$$t^2-6t+8=0.$$

Корни: $t=2$ и $t=4\text{.}$ Возвращаемся к исходной переменной:

1) $4^{\sin x}=2\text{.}$ Так как $4=2^2\text{,}$ то $2^{2\sin x}=2^1\Rightarrow 2\sin x=1\Rightarrow \sin x=\frac{1}{2}\text{.}$ Отсюда $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

2) $4^{\sin x}=4\Rightarrow \sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2\pi m\text{,}$ $m\in \mathbb{Z}\text{.}$

Для отбора корней на отрезке $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]\text{:}$

• Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ при $k=-2$ получаем $x=\frac{\pi }{6}-4\pi =-\frac{23\pi }{6}\text{,}$ что лежит в отрезке.
• Из серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{:}$ ни при каком целом $k$ корни не попадают в отрезок.
• Из серии $x=\frac{\pi }{2}+2\pi m\text{:}$ при $m=-2$ получаем $x=\frac{\pi }{2}-4\pi =-\frac{7\pi }{2}\text{,}$ что является правым концом отрезка и включается.

Ответ:
а) $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{\pi }{2}+2\pi m\text{,}$ где $k,m\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $-\frac{23\pi }{6},-\frac{7\pi }{2}\text{.}$