а) Решите уравнение 16^(sin x) - 6* 4^(sin x) + 8 = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5pi; -(7pi)/(2)] .
Заметим, что 16^(sin x) = (4^2)^(sin x) = (4^(sin x))^2 . Сделаем замену t = 4^(sin x) > 0 : t^2 - 6t + 8 = 0. Корни: t = 2 и t = 4 . Возвращаемся к исходной переменной: 1) 4^(sin x) = 2 . Так как 4 = 2^2 , то 2^(2sin x) = 2^1=> 2sin x = 1=>sin x = (1)/(2) . Отсюда x = (pi)/(6) + 2pi k или x = (5pi)/(6) + 2pi k , kin Z . 2) 4^(sin x) = 4=>sin x = 1=> x = (pi)/(2) + 2pi m , min Z . Для отбора корней на отрезке [-5pi; -(7pi)/(2)] : Из серии x = (pi)/(6) + 2pi k : при k = -2 получаем x = (pi)/(6) - 4pi = -(23pi)/(6) , что лежит в отрезке. Из серии x = (5pi)/(6) + 2pi k : ни при каком целом k корни не попадают в отрезок. Из серии x = (pi)/(2) + 2pi m : при m = -2 получаем x = (pi)/(2) - 4pi = -(7pi)/(2) , что является правым концом отрезка и включается. Ответ: а) x = (pi)/(6) + 2pi k, x = (5pi)/(6) + 2pi k, x = (pi)/(2) + 2pi m , где k, min Z . б) -(23pi)/(6), -(7pi)/(2) .
а) \( \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k, \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, \dfrac{\pi}{2} + 2\pi m \), где \( k, m \in \mathbb{Z} \)
б) \( -\dfrac{23\pi}{6}, -\dfrac{7\pi}{2} \)