Задача №15122

а) Решите уравнение
$2{\cos }^{2}x+3\sin (-x)-3=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Упрощаем: $\sin (-x)=-\sin x\text{,}$ уравнение становится $2{\cos }^{2}x-3\sin x-3=0\text{.}$
Заменяем ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x\text{:}$

$$2(1-{\sin }^{2}x)-3\sin x-3=0\Rightarrow -2{\sin }^{2}x-3\sin x-1=0\Rightarrow 2{\sin }^{2}x+3\sin x+1=0.$$

Квадратное относительно $\sin x\text{:}$ дискриминант $D=1\text{,}$ корни $\sin x=-\frac{1}{2}$ или $\sin x=-1\text{.}$
Решаем $\sin x=-1\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$
Решаем $\sin x=-\frac{1}{2}\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$ или $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi m,n,m\in \mathbb{Z}\text{.}$

Таким образом, общее решение уравнения:
$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k\text{,}$
$x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{,}$
$x=\frac{7\pi }{6}+2\pi m\text{,}$ где $k,n,m\in \mathbb{Z}\text{.}$

Для отбора корней на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{:}$

1) $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k\text{:}$

$$2\pi ⩽-\frac{\pi }{2}+2\pi k⩽\frac{7\pi }{2}$$ $$\Rightarrow 2⩽-\frac{1}{2}+2k⩽\frac{7}{2}$$ $$\Rightarrow 2,5⩽2k⩽4$$ $$\Rightarrow 1,25⩽k⩽2$$

целое $k=2\text{.}$ Корень: $x=\frac{7\pi }{2}\text{.}$

2) $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{:}$

$$2\pi ⩽-\frac{\pi }{6}+2\pi n⩽\frac{7\pi }{2}$$ $$\Rightarrow 2⩽-\frac{1}{6}+2n⩽\frac{7}{2}$$ $$\Rightarrow \frac{13}{6}⩽2n⩽\frac{11}{3}$$ $$\Rightarrow \frac{13}{12}⩽n⩽\frac{11}{6}$$

целых $n$ нет.

3) $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi m\text{:}$

$$2\pi ⩽\frac{7\pi }{6}+2\pi m⩽\frac{7\pi }{2}$$ $$\Rightarrow 2⩽\frac{7}{6}+2m⩽\frac{7}{2}$$ $$\Rightarrow \frac{5}{6}⩽2m⩽\frac{7}{3}$$ $$\Rightarrow \frac{5}{12}⩽m⩽\frac{7}{6}$$

целое $m=1\text{.}$ Корень: $x=\frac{19\pi }{6}\text{.}$

Ответ:

а) $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k\text{,}$ $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{,}$ $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi m\text{,}$ где $k,n,m\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) $x=\frac{7\pi }{2}\text{,}$ $x=\frac{19\pi }{6}\text{.}$