а) Решите уравнение cos 2x + cos (-x) = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ -(7pi)/(2); -2pi] .
а) Упрощаем уравнение, используя чётность косинуса: cos 2x + cos x = 0 . Применяем формулу суммы косинусов: cos 2x + cos x = 2cos(3x)/(2)cos(x)/(2) = 0. Отсюда cos(3x)/(2) = 0 или cos(x)/(2) = 0 . Решаем: (3x)/(2) = (pi)/(2) + pi n=> x = (pi)/(3) + (2pi n)/(3), nin Z. (x)/(2) = (pi)/(2) + pi m=> x = pi + 2pi m, min Z. Объединяя решения, получаем серии: x = +-(pi)/(3) + 2pi k, x = pi + 2pi k, kin Z. б) Отрезок [ -(7pi)/(2); -2pi] ~ [-10.99; -6.28] . Рассмотрим каждую серию отдельно. x = (pi)/(3) + 2pi k : при k=-1 — -(5pi)/(3)~ -5.24 (правее отрезка), при k=-2 — -(11pi)/(3)~ -11.52 (левее отрезка). Не подходят. x = -(pi)/(3) + 2pi k : при k=-1 — -(7pi)/(3)~ -7.33 , принадлежит отрезку. x = pi + 2pi k : при k=-1 — -pi (правее отрезка), при k=-2 — -3pi~ -9.42 , принадлежит отрезку. Итого в отрезок попадают два корня: -3pi и -(7pi)/(3) . Ответ: а) x = +-(pi)/(3) + 2pi k, x = pi + 2pi k, kin Z б) -3pi; -(7pi)/(3)
а) \( x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \)
б) \( -3\pi;\ -\dfrac{7\pi}{3} \)