Задача №15121

а) Решите уравнение
$\cos 2x+\cos (-x)=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]\text{.}$

а) Упрощаем уравнение, используя чётность косинуса: $\cos 2x+\cos x=0\text{.}$

Применяем формулу суммы косинусов:

$$\cos 2x+\cos x=2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0.$$

Отсюда $\cos \frac{3x}{2}=0$ или $\cos \frac{x}{2}=0\text{.}$

Решаем:

$$\frac{3x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi n}{3},n\in \mathbb{Z}.$$ $$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi m\Rightarrow x=\pi +2\pi m,m\in \mathbb{Z}.$$

Объединяя решения, получаем серии:

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]\approx [-10.99;-6.28]\text{.}$

Рассмотрим каждую серию отдельно.

$x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=-1$ — $-\frac{5\pi }{3}\approx -5.24$ (правее отрезка), при $k=-2$ — $-\frac{11\pi }{3}\approx -11.52$ (левее отрезка). Не подходят.

$x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=-1$ — $-\frac{7\pi }{3}\approx -7.33\text{,}$ принадлежит отрезку.

$x=\pi +2\pi k\text{:}$ при $k=-1$ — $-\pi$ (правее отрезка), при $k=-2$ — $-3\pi \approx -9.42\text{,}$ принадлежит отрезку.

Итого в отрезок попадают два корня: $-3\pi$ и $-\frac{7\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $-3\pi ;-\frac{7\pi }{3}$