Задача №15120

Найдите точку минимума функции
$y=x\sqrt{x}-3x+17\text{.}$

Запишем функцию в виде степени: $y=x^{3/2}-3x+17\text{.}$ Область определения: $x⩾0\text{.}$

Найдем производную:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной на интервалах $(0;4)$ и $(4;+\infty )\text{.}$ При $x=1\text{:}$ $y^{\prime }(1)=\frac{3}{2}\cdot 1-3=1.5-3=-1.5<0\text{.}$ При $x=9\text{:}$ $y^{\prime }(9)=\frac{3}{2}\cdot 3-3=4.5-3=1.5>0\text{.}$ Значит, производная меняет знак с "-" на "+" в точке $x=4\text{.}$ Точка минимума — $x=4\text{.}$

Ответ: $x=4$