Задача №15119

Найдите точку максимума функции

$y=0,5x^2-21x+110\cdot \ln x+43\text{.}$

Область определения: $x>0\text{.}$

Найдем производную:
$y^{\prime }=x-21+\frac{110}{x}\text{.}$

Приведем к общему знаменателю:
$y^{\prime }=\frac{x^2-21x+110}{x}\text{.}$

Найдем нули числителя:
$x^2-21x+110=0\text{.}$

Дискриминант:
$D=441-440=1\text{.}$

Корни:
$x_1=\frac{21-1}{2}=10\text{,}$ $x_2=\frac{21+1}{2}=11\text{.}$

Исследуем знак производной:
при $x\in (0;10)$ производная $y^{\prime }>0\text{,}$
при $x\in (10;11)$ производная $y^{\prime }<0\text{,}$
при $x>11$ производная $y^{\prime }>0\text{.}$

Значит, $x=10$ — точка максимума.

Ответ: $x=10$