Задача №15118

Найдите точку максимума функции $y=3.5x^2-29x+30\cdot \ln x+67\text{.}$

Найдем производную заданной функции:

Производная определена при $x>0\text{.}$ Найдем нули производной:

Определим знаки производной на интервалах $(0;2)\text{,}$ $(2;\frac{15}{7})\text{,}$ $(\frac{15}{7};+\infty )\text{.}$ При $x=1\text{:}$ $y^{\prime }(1)=7-29+30=8>0\text{.}$ При $x=2.1\text{:}$ $y^{\prime }(2.1)=14.7-29+\frac{30}{2.1}\approx 14.7-29+14.2857\approx -0.0143<0\text{.}$ При $x=3\text{:}$ $y^{\prime }(3)=21-29+10=2>0\text{.}$ Значит, производная меняет знак с "+" на "-" в точке $x=2$ и с "-" на "+" в точке $x=\frac{15}{7}\text{.}$ Точка максимума — это точка, где производная меняет знак с "+" на "-", то есть $x=2\text{.}$

Ответ: $x=2$