Найдите наименьшее значение функции y = 12cos x + (45x)/(pi) - 4 на отрезке [ -(2pi)/(3); 0] .

Найдем производную функции: y' = -12sin x + (45)/(pi). Найдем критические точки на отрезке [ -(2pi)/(3); 0] : -12sin x + (45)/(pi) = 0=>sin x = (45)/(12pi) = (15)/(4pi). Так как (15)/(4pi)~(15)/(12.566)~ 1.194 , а |sin x| 1 , уравнение не имеет решений. Значит, производная не меняет знак на отрезке. Определим знак производной: при x=0 : y'(0) = -12sin 0 + (45)/(pi) = (45)/(pi) > 0. Производная положительна на всем отрезке, функция возрастает. Наименьшее значение достигается в левом конце отрезка: y(-(2pi)/(3)) = 12cos(-(2pi)/(3)) + (45)/(pi)*(-(2pi)/(3)) - 4 = 12*(-(1)/(2)) - 30 - 4 = -6 - 30 - 4 = -40. Ответ: -40.

\(\text{-}40\)