Задача №15117

Найдите наименьшее значение функции

$$y=12\cos x+\frac{45x}{\pi }-4$$

на отрезке $\left[-\frac{2\pi }{3};0\right]\text{.}$

Найдем производную функции:

$$y^{\prime }=-12\sin x+\frac{45}{\pi }.$$

Найдем критические точки на отрезке $\left[-\frac{2\pi }{3};0\right]\text{:}$

$$-12\sin x+\frac{45}{\pi }=0\Rightarrow \sin x=\frac{45}{12\pi }=\frac{15}{4\pi }.$$

Так как $\frac{15}{4\pi }\approx \frac{15}{12.566}\approx 1.194\text{,}$ а $|\sin x|⩽1\text{,}$ уравнение не имеет решений. Значит, производная не меняет знак на отрезке.

Определим знак производной: при $x=0\text{:}$

$$y^{\prime }(0)=-12\sin 0+\frac{45}{\pi }=\frac{45}{\pi }>0.$$

Производная положительна на всем отрезке, функция возрастает. Наименьшее значение достигается в левом конце отрезка:

$$y\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=12\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)+\frac{45}{\pi }\cdot \left(-\frac{2\pi }{3}\right)-4=12\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)-30-4=-6-30-4=-40.$$

Ответ: $-40\text{.}$