Задача №15114

а) Решите уравнение $2{\cos }^{3}x-{\cos }^{2}x+2\cos x-1=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Сгруппируем слагаемые: $(2{\cos }^{3}x-{\cos }^{2}x)+(2\cos x-1)=0\text{.}$
Вынесем общие множители: ${\cos }^{2}x(2\cos x-1)+1\cdot (2\cos x-1)=0\text{.}$
Получаем: $(2\cos x-1)({\cos }^{2}x+1)=0\text{.}$

Поскольку ${\cos }^{2}x+1\ge 1>0$ при всех $x\text{,}$ уравнение равносильно $2\cos x-1=0\text{.}$
Отсюда $\cos x=\frac{1}{2}\text{.}$

Общее решение: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Найдём корни на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$
при $k=1\text{:}$ $x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\in \left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{;}$
при $k=2\text{:}$ $x=\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{13\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$ — не подходит.

Для $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$
при $k=1\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}<2\pi$ — не подходит;
при $k=2\text{:}$ $x=-\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{11\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$ — не подходит.

Таким образом, подходит только корень $\frac{7\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\text{,}$ $k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{7\pi }{3}$