а) Решите уравнение 2cos^(3)x-cos^(2)x+2cos x-1=0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2pi;(7pi)/(2)].

Сгруппируем слагаемые: (2cos^3 x - cos^2 x) + (2cos x - 1) = 0. Вынесем общие множители: cos^2 x (2cos x - 1) + 1* (2cos x - 1) = 0. Получаем: (2cos x - 1)(cos^2 x + 1) = 0. Поскольку cos^2 x + 1>= 1 > 0 при всех x, уравнение равносильно 2cos x - 1 = 0. Отсюда cos x = (1)/(2). Общее решение: x = +-(pi)/(3) + 2pi k, kin Z. Найдём корни на отрезке [2pi; (7pi)/(2)]. Для x = (pi)/(3) + 2pi k: при k = 1: x = (pi)/(3) + 2pi = (7pi)/(3)in[2pi; (7pi)/(2)]; при k = 2: x = (pi)/(3) + 4pi = (13pi)/(3) > (7pi)/(2) — не подходит. Для x = -(pi)/(3) + 2pi k: при k = 1: x = -(pi)/(3) + 2pi = (5pi)/(3) < 2pi — не подходит; при k = 2: x = -(pi)/(3) + 4pi = (11pi)/(3) > (7pi)/(2) — не подходит. Таким образом, подходит только корень (7pi)/(3). Ответ: а) x = +-(pi)/(3) + 2pi k, kin Z б) (7pi)/(3)

\(\text{а) }x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, k\in \mathbb{Z}\) \(\text{б) }\dfrac{7\pi}{3}.\)