Задача №15113

а) Решите уравнение
$2{\cos }^{3}x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x+2\cos x+\sqrt{3}=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}]\text{.}$

а) Сгруппируем слагаемые:
$(2{\cos }^{3}x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x)+(2\cos x+\sqrt{3})=0\text{.}$

Вынесем общие множители:
${\cos }^{2}x(2\cos x+\sqrt{3})+1\cdot (2\cos x+\sqrt{3})=0\text{,}$
$(2\cos x+\sqrt{3})({\cos }^{2}x+1)=0\text{.}$

Поскольку ${\cos }^{2}x+1>0$ при всех действительных $x\text{,}$ уравнение равносильно:
$2\cos x+\sqrt{3}=0\iff \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$

Общее решение:
$x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]=\left[-\frac{12\pi }{6};-\frac{3\pi }{6}\right]\text{.}$

Для серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{:}$
при $k=-1\text{:}$ $x=\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}\in \left[-\frac{12\pi }{6};-\frac{3\pi }{6}\right]\text{;}$
при $k=0\text{:}$ $x=\frac{5\pi }{6}>-\frac{\pi }{2}$ — не подходит;
при $k\le -2$ значения меньше $-2\pi \text{,}$ при $k\ge 1$ — больше $-\frac{\pi }{2}\text{.}$

Для серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k\text{:}$
при $k=0\text{:}$ $x=-\frac{5\pi }{6}\in \left[-\frac{12\pi }{6};-\frac{3\pi }{6}\right]\text{;}$
при $k=-1\text{:}$ $x=-\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{17\pi }{6}<-2\pi$ — не подходит;
при $k\ge 1$ значения больше $-\frac{\pi }{2}\text{.}$

Таким образом, корни на отрезке: $-\frac{7\pi }{6}$ и $-\frac{5\pi }{6}\text{.}$

Ответ:
а) $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{7\pi }{6},-\frac{5\pi }{6}$