а) Решите уравнение 2cos^3 x + sqrt(3)cos^2 x + 2cos x + sqrt(3) = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2pi; -(pi)/(2)] .

а) Сгруппируем слагаемые: (2cos^3 x + sqrt(3)cos^2 x) + (2cos x + sqrt(3)) = 0 . Вынесем общие множители: cos^2 x (2cos x + sqrt(3)) + 1* (2cos x + sqrt(3)) = 0 , (2cos x + sqrt(3))(cos^2 x + 1) = 0 . Поскольку cos^2 x + 1 > 0 при всех действительных x , уравнение равносильно: 2cos x + sqrt(3) = 0 <=> cos x = -(sqrt(3))/(2) . Общее решение: x = +-(5pi)/(6) + 2pi k, kin Z . б) Отберём корни, принадлежащие отрезку [-2pi; -(pi)/(2)] = [-(12pi)/(6); -(3pi)/(6)] . Для серии x = (5pi)/(6) + 2pi k : при k = -1 : x = (5pi)/(6) - 2pi = -(7pi)/(6)in[-(12pi)/(6); -(3pi)/(6)] ; при k = 0 : x = (5pi)/(6) > -(pi)/(2) — не подходит; при k<= -2 значения меньше -2pi , при k>= 1 — больше -(pi)/(2) . Для серии x = -(5pi)/(6) + 2pi k : при k = 0 : x = -(5pi)/(6)in[-(12pi)/(6); -(3pi)/(6)] ; при k = -1 : x = -(5pi)/(6) - 2pi = -(17pi)/(6) < -2pi — не подходит; при k>= 1 значения больше -(pi)/(2) . Таким образом, корни на отрезке: -(7pi)/(6) и -(5pi)/(6) . Ответ: а) x = +-(5pi)/(6) + 2pi k, kin Z б) -(7pi)/(6), -(5pi)/(6)

а) \(x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\) б) \(-\dfrac{5\pi}{6}, -\dfrac{7\pi}{6}\)