Найдите наименьшее значение функции y = 12x - ln(12x) + 4 на отрезке [ (1)/(24); (5)/(24)].

Найдем производную заданной функции. Область определения: 12x>0=> x>0, что выполняется на заданном отрезке. y' = 12 - (1)/(x) = (12x - 1)/(x) Найдем нули производной на отрезке [ (1)/(24); (5)/(24)] : 12x-1=0=> x=(1)/(12). Заметим, что (1)/(24) < (1)/(12) < (5)/(24) . Определим знаки производной на интервалах внутри отрезка. При x=(1)/(24) : y'((1)/(24)) = 12 - 24 = -12 < 0 . При x=(1)/(12) : y'=0 . При x=(5)/(24) : y'((5)/(24)) = 12 - (24)/(5) = 12 - 4.8 = 7.2 > 0 . Значит, на отрезке функция убывает от x=(1)/(24) до x=(1)/(12) и возрастает от x=(1)/(12) до x=(5)/(24) . Следовательно, наименьшее значение достигается в точке x=(1)/(12) . Вычислим его: y((1)/(12)) = 12*(1)/(12) - ln(12*(1)/(12)) + 4 = 1 - ln 1 + 4 = 1 - 0 + 4 = 5. Ответ: 5

\(5\)