Задача №15111

Найдите наименьшее значение функции $y=12x-\ln (12x)+4$ на отрезке $\left[\frac{1}{24};\frac{5}{24}\right].$

Найдем производную заданной функции. Область определения: $12x>0\Rightarrow x>0\text{,}$ что выполняется на заданном отрезке.

Найдем нули производной на отрезке $\left[\frac{1}{24};\frac{5}{24}\right]\text{:}$ $12x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{12}\text{.}$ Заметим, что $\frac{1}{24}<\frac{1}{12}<\frac{5}{24}\text{.}$

Определим знаки производной на интервалах внутри отрезка. При $x=\frac{1}{24}\text{:}$ $y^{\prime }(\frac{1}{24})=12-24=-12<0\text{.}$ При $x=\frac{1}{12}\text{:}$ $y^{\prime }=0\text{.}$ При $x=\frac{5}{24}\text{:}$ $y^{\prime }(\frac{5}{24})=12-\frac{24}{5}=12-4.8=7.2>0\text{.}$

Значит, на отрезке функция убывает от $x=\frac{1}{24}$ до $x=\frac{1}{12}$ и возрастает от $x=\frac{1}{12}$ до $x=\frac{5}{24}\text{.}$ Следовательно, наименьшее значение достигается в точке $x=\frac{1}{12}\text{.}$

Вычислим его:

Ответ: 5