а) Решите уравнение sin 2x + sqrt(2)cos(x + pi) = 0 . б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3pi; (9pi)/(2)] .

Упростим уравнение, используя формулы приведения и двойного угла: sin 2x + sqrt(2)cos(x+pi) = 0<=> 2sin xcos x + sqrt(2) (-cos x) = 0<=>cos x (2sin x - sqrt(2)) = 0. Отсюда: cos x = 0 или 2sin x - sqrt(2) = 0. Решаем каждое: cos x = 0=> x = (pi)/(2) + pi k, kin Z; sin x = (sqrt(2))/(2)=> x = (pi)/(4) + 2pi n или x = (3pi)/(4) + 2pi n, nin Z. б) Найдем корни на отрезке [3pi; (9pi)/(2)] . Для x = (pi)/(2) + pi k решаем неравенство: 3pi (pi)/(2) + pi k (9pi)/(2)=> 3 (1)/(2) + k (9)/(2)=> k = 3, 4. Корни: (7pi)/(2), (9pi)/(2) . Для x = (pi)/(4) + 2pi n : 3pi (pi)/(4) + 2pi n (9pi)/(2)=> 3 (1)/(4) + 2n (9)/(2)=> n = 2. Корень: (17pi)/(4) . Для x = (3pi)/(4) + 2pi n нет целых n , удовлетворяющих неравенству. Ответ: (7pi)/(2), (9pi)/(2), (17pi)/(4)

а) \( \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n, \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{17\pi}{4} \)