Задача №15109

а) Решите уравнение
$\sin 2x+\sqrt{2}\cos (x+\pi )=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

Упростим уравнение, используя формулы приведения и двойного угла:

$$\sin 2x+\sqrt{2}\cos (x+\pi )=0\iff 2\sin x\cos x+\sqrt{2}(-\cos x)=0\iff \cos x(2\sin x-\sqrt{2})=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0\text{или}2\sin x-\sqrt{2}=0.$$

Решаем каждое:

$$\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z};$$ $$\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{или}x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдем корни на отрезке $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]\text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ решаем неравенство:

$$3\pi ⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽\frac{9\pi }{2}\Rightarrow 3⩽\frac{1}{2}+k⩽\frac{9}{2}\Rightarrow k=3,4.$$

Корни: $\frac{7\pi }{2},\frac{9\pi }{2}\text{.}$

Для $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n\text{:}$

$$3\pi ⩽\frac{\pi }{4}+2\pi n⩽\frac{9\pi }{2}\Rightarrow 3⩽\frac{1}{4}+2n⩽\frac{9}{2}\Rightarrow n=2.$$

Корень: $\frac{17\pi }{4}\text{.}$

Для $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ нет целых $n\text{,}$ удовлетворяющих неравенству.

Ответ: $\frac{7\pi }{2},\frac{9\pi }{2},\frac{17\pi }{4}$