Задача №15108

Найдите точку минимума функции $y=x^2-28x+96\cdot \ln x+31\text{.}$

Найдем производную заданной функции:

Производная определена при $x>0\text{.}$ Найдем нули производной:

Определим знаки производной на интервалах $(0;6)\text{,}$ $(6;8)\text{,}$ $(8;+\infty )\text{.}$ При $x=1\text{:}$ $y^{\prime }(1)=2-28+96>0\text{.}$ При $x=7\text{:}$ $y^{\prime }(7)=14-28+\frac{96}{7}=-14+13\frac{5}{7}<0\text{.}$ При $x=9\text{:}$ $y^{\prime }(9)=18-28+\frac{96}{9}=-10+10\frac{2}{3}>0\text{.}$ Значит, производная меняет знак с "+" на "-" в точке $x=6$ и с "-" на "+" в точке $x=8\text{.}$ Точка минимума — это точка, где производная меняет знак с "-" на "+", то есть $x=8\text{.}$

Ответ: $x=8$