Найдите точку минимума функции y = x^2 - 28x + 96*ln x + 31 .

Найдем производную заданной функции: y' = 2x - 28 + (96)/(x) = (2x^2 - 28x + 96)/(x) Производная определена при x>0. Найдем нули производной: 2x^2 - 28x + 96 = 0 => x^2 - 14x + 48 = 0 D = 196 - 192 = 4, x = (14+- 2)/(2) = 8 или 6. Определим знаки производной на интервалах (0;6), (6;8), (8;+inf). При x=1: y'(1)=2-28+96>0. При x=7: y'(7)=14-28+(96)/(7) = -14 + 13(5)/(7) < 0. При x=9: y'(9)=18-28+(96)/(9) = -10 + 10(2)/(3) > 0. Значит, производная меняет знак с "+" на "-" в точке x=6 и с "-" на "+" в точке x=8. Точка минимума — это точка, где производная меняет знак с "-" на "+", то есть x=8. Ответ: x = 8

\(8\)