Задача №15106

а) Решите уравнение
$2{\cos }^{2}x+3\sin (x+\pi )-3=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Упростим уравнение:

$$2{\cos }^{2}x+3\sin (x+\pi )-3=0.$$

Используем формулу приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x\text{:}$

$$2{\cos }^{2}x-3\sin x-3=0.$$

Заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x\text{:}$

$$2(1-{\sin }^{2}x)-3\sin x-3=0\Rightarrow 2-2{\sin }^{2}x-3\sin x-3=0\Rightarrow -2{\sin }^{2}x-3\sin x-1=0.$$

Умножим на $-1\text{:}$

$$2{\sin }^{2}x+3\sin x+1=0.$$

Пусть $t=\sin x\text{,}$ тогда:

$$2t^2+3t+1=0,D=9-8=1,t=\frac{-3\pm 1}{4}\Rightarrow t_1=-\frac{1}{2},t_2=-1.$$

Таким образом:

$$\sin x=-\frac{1}{2}\text{или}\sin x=-1.$$

Решаем:

$$\sin x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$ $$\sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]\text{.}$
Для $\sin x=-\frac{1}{2}\text{:}$

• Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{:}$
  • $k=1\text{:}$ $x=\frac{11\pi }{6}\approx 5.76<2\pi$ — не входит.
  • $k=2\text{:}$ $x=\frac{23\pi }{6}\approx 12.04>\frac{7\pi }{2}$ — не входит.
• Серия $x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k\text{:}$
  • $k=1\text{:}$ $x=\frac{19\pi }{6}$ — входит.
  • $k=0\text{:}$ $x=\frac{7\pi }{6}<2\pi$ — не входит.
  • $k=2\text{:}$ $x=\frac{31\pi }{6}>\frac{7\pi }{2}$ — не входит.

Для $\sin x=-1\text{:}$

• Серия $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k\text{:}$
  • $k=2\text{:}$ $x=\frac{7\pi }{2}$ (верхняя граница отрезка, входит).
  • $k=1\text{:}$ $x=\frac{3\pi }{2}<2\pi$ — не входит.
  • $k=3\text{:}$ $x=\frac{11\pi }{2}>\frac{7\pi }{2}$ — не входит.

Ответ:
а) $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z};x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{19\pi }{6},\frac{7\pi }{2}$