Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ
а) Решите уравнение
[
\sin 2x - \sin(-x) + 2\cos(-x) + 1 = 0.
]
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [23π;3π].
а) Упростим уравнение: sin2x−sin(−x)+2cos(−x)+1=0.
Используем свойства нечётности/чётности: sin(−x)=−sinx, cos(−x)=cosx.
Получаем: sin2x+sinx+2cosx+1=0.
По формуле двойного угла: sin2x=2sinxcosx.
Подставляем: 2sinxcosx+sinx+2cosx+1=0.
Группируем: (2sinxcosx+sinx)+(2cosx+1)=0.
Выносим общие множители: sinx(2cosx+1)+1(2cosx+1)=0.
Выносим (2cosx+1): (2cosx+1)(sinx+1)=0.
Отсюда:
1) 2cosx+1=0⇒cosx=−21⇒x=±32π+2πk,k∈Z.
2) sinx+1=0⇒sinx=−1⇒x=−2π+2πn,n∈Z.
б) Найдём корни на отрезке [23π;3π].
Для x=32π+2πk:
Решаем неравенство:
[
\dfrac{3\pi}{2} \leqslant \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \leqslant 3\pi.
]
Делим на π:
[
\dfrac{3}{2} \leqslant \dfrac{2}{3} + 2k \leqslant 3.
]
Умножаем на 3:
[
\dfrac{9}{2} \leqslant 2 + 6k \leqslant 9\Rightarrow\dfrac{5}{2} \leqslant 6k \leqslant 7\Rightarrow\dfrac{5}{12} \leqslant k \leqslant \dfrac{7}{6}.
]
Целое k: только 1.
При k=1: x=32π+2π=38π.
Для x=−32π+2πk:
Решаем неравенство:
[
\dfrac{3\pi}{2} \leqslant -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k \leqslant 3\pi.
]
Делим на π:
[
\dfrac{3}{2} \leqslant -\dfrac{2}{3} + 2k \leqslant 3.
]
Умножаем на 3:
[
\dfrac{9}{2} \leqslant -2 + 6k \leqslant 9\Rightarrow\dfrac{13}{2} \leqslant 6k \leqslant 11\Rightarrow\dfrac{13}{12} \leqslant k \leqslant \dfrac{11}{6}.
]
Целое k: только 1, но при k=1: x=−32π+2π=34π, что меньше 23π, не входит.
Для x=−2π+2πn:
Решаем неравенство:
[
\dfrac{3\pi}{2} \leqslant -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \leqslant 3\pi.
]
Делим на π:
[
\dfrac{3}{2} \leqslant -\dfrac{1}{2} + 2n \leqslant 3.
]
Умножаем на 2:
[
3 \leqslant -1 + 4n \leqslant 6\Rightarrow
4 \leqslant 4n \leqslant 7\Rightarrow
1 \leqslant n \leqslant \dfrac{7}{4}.
]
Целое n: только 1.
При n=1: x=−2π+2π=23π.
Таким образом, на отрезке два корня: 38π и 23π.
Ответ: 38π,23π.