а) Решите уравнение [ sin 2x - sin(-x) + 2cos(-x) + 1 = 0. ] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [(3pi)/(2); 3pi].

а) Упростим уравнение: sin 2x - sin(-x) + 2cos(-x) + 1 = 0. Используем свойства нечётности/чётности: sin(-x) = -sin x, cos(-x) = cos x. Получаем: sin 2x + sin x + 2cos x + 1 = 0. По формуле двойного угла: sin 2x = 2sin xcos x. Подставляем: 2sin xcos x + sin x + 2cos x + 1 = 0. Группируем: (2sin xcos x + sin x) + (2cos x + 1) = 0. Выносим общие множители: sin x (2cos x + 1) + 1(2cos x + 1) = 0. Выносим (2cos x + 1): (2cos x + 1)(sin x + 1) = 0. Отсюда: 1) 2cos x + 1 = 0=>cos x = -(1)/(2)=> x = +-(2pi)/(3) + 2pi k, kin Z. 2) sin x + 1 = 0=>sin x = -1=> x = -(pi)/(2) + 2pi n, nin Z. б) Найдём корни на отрезке [(3pi)/(2); 3pi]. Для x = (2pi)/(3) + 2pi k: Решаем неравенство: [ (3pi)/(2) (2pi)/(3) + 2pi k 3pi. ] Делим на pi: [ (3)/(2) (2)/(3) + 2k 3. ] Умножаем на 3: [ (9)/(2) 2 + 6k 9=>(5)/(2) 6k 7=>(5)/(12) k (7)/(6). ] Целое k: только 1. При k = 1: x = (2pi)/(3) + 2pi = (8pi)/(3). Для x = -(2pi)/(3) + 2pi k: Решаем неравенство: [ (3pi)/(2) -(2pi)/(3) + 2pi k 3pi. ] Делим на pi: [ (3)/(2) -(2)/(3) + 2k 3. ] Умножаем на 3: [ (9)/(2) -2 + 6k 9=>(13)/(2) 6k 11=>(13)/(12) k (11)/(6). ] Целое k: только 1, но при k = 1: x = -(2pi)/(3) + 2pi = (4pi)/(3), что меньше (3pi)/(2), не входит. Для x = -(pi)/(2) + 2pi n: Решаем неравенство: [ (3pi)/(2) -(pi)/(2) + 2pi n 3pi. ] Делим на pi: [ (3)/(2) -(1)/(2) + 2n 3. ] Умножаем на 2: [ 3 -1 + 4n 6=> 4 4n 7=> 1 n (7)/(4). ] Целое n: только 1. При n = 1: x = -(pi)/(2) + 2pi = (3pi)/(2). Таким образом, на отрезке два корня: (8pi)/(3) и (3pi)/(2) . Ответ: (8pi)/(3), (3pi)/(2) .

а) \( \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k, -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, k, n \in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{8\pi}{3}, \dfrac{3\pi}{2} \)